Theorem pntrlog2bndlem6a 25271

Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 25272. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bnd.t	|- T = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
pntrlog2bndlem5.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntrlog2bndlem5.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ B )
pntrlog2bndlem6.1	|- ( ph -> A e. RR )
pntrlog2bndlem6.2	|- ( ph -> 1 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem6a	|- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, a, x, y, A   x, B, y   ph, x   x, S, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   B( i, a)   R( i, a)   S( i, a)   T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
3		1rp 11836	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
5	4	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
6		eliooord 12233	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
9	5, 2, 8	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
10	2, 4, 9	rpgecld 11911	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
11		pntrlog2bndlem6.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
12	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
13		pntrlog2bndlem6.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ A )
14	11, 12, 13	rpgecld 11911	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR+ )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
16	10, 15	rpdivcld 11889	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR+ )
17	16	rprege0d 11879	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( x / A ) e. RR /\ 0 <_ ( x / A ) ) )
18		flge0nn0 12621	. . . 4 |- ( ( ( x / A ) e. RR /\ 0 <_ ( x / A ) ) -> ( |_ ` ( x / A ) ) e. NN0 )
19		nn0p1nn 11332	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( x / A ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) e. NN )
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) e. NN )
21		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22	20, 21	syl6eleq 2711	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23	16	rpred 11872	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) e. RR )
24	10	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
25	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ A )
26	4, 15, 2, 24, 25	lediv2ad 11894	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) <_ ( x / 1 ) )
27	2	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
28	27	div1d 10793	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / 1 ) = x )
29	26, 28	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / A ) <_ x )
30		flword2 12614	. . 3 |- ( ( ( x / A ) e. RR /\ x e. RR /\ ( x / A ) <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( x / A ) ) ) )
31	23, 2, 29, 30	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( x / A ) ) ) )
32		fzsplit2 12366	. 2 |- ( ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )
33	22, 31, 32	syl2anc 693	1 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) u. ( ( ( |_ ` ( x / A ) ) + 1 ) ... ( |_ ` x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  25272