Theorem selberg3lem2 25247

Description: Lemma for selberg3 25248. Equation 10.4.21 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
selberg3lem2	|- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1)

Distinct variable group:   x, n

Proof of Theorem selberg3lem2

Dummy variables m c y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
2		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR -> ( y e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ 1 <_ y ) )
4	3	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( y e. ( 1 [,) +oo ) -> y e. RR )
5	4	ssriv 3607	. . . . 5 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR )
7	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 1 e. RR )
8		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) e. Fin )
9		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) -> m e. NN )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> m e. NN )
11		vmacl 24844	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
13	10	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> m e. RR+ )
14	13	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
15	12, 14	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
16	8, 15	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
17	4	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> y e. RR )
18		chpcl 24850	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR -> (ψ ` y ) e. RR )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
20		1rp 11836	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
22	3	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 1 [,) +oo ) -> 1 <_ y )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ y )
24	17, 21, 23	rpgecld 11911	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> y e. RR+ )
25	24	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
26	19, 25	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
27	16, 26	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) e. RR )
28	27, 24	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) e. CC )
30	24	ex 450	. . . . . 6 |- ( T. -> ( y e. ( 1 [,) +oo ) -> y e. RR+ ) )
31	30	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( T. -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ )
32		selberg2lem 25239	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ |-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) e. O(1)
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( y e. RR+ |-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) e. O(1) )
34	31, 33	o1res2 14294	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) e. O(1) )
35		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
36		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
37	36	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
38	37, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
39	37	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
40	39	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
41	38, 40	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
42	35, 41	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
43		chpcl 24850	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
44	43	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
45		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
46	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. RR+ )
47		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
48	45, 46, 47	rpgecld 11911	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
49	48	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
50	44, 49	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
51	42, 50	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
52	27	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) e. RR )
53	52	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) e. CC )
54	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> y e. RR+ )
55	54	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> y e. CC )
56	54	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> y =/= 0 )
57	53, 55, 56	absdivd 14194	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) = ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / ( abs ` y ) ) )
58	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> y e. RR )
59	54	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 0 <_ y )
60	58, 59	absidd 14161	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` y ) = y )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / ( abs ` y ) ) = ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / y ) )
62	57, 61	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) = ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / y ) )
63	53	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) e. RR )
64	63, 54	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / y ) e. RR )
65	42	ad2ant2r 783	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
66		simprll 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> x e. RR )
67	66, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
68		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> y < x )
69	58, 66, 68	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> y <_ x )
70	66, 54, 69	rpgecld 11911	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> x e. RR+ )
71	70	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
72	67, 71	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
73	65, 72	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
74	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 1 e. RR+ )
75	53	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) )
76	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 1 <_ y )
77	74, 54, 63, 75, 76	lediv2ad 11894	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / y ) <_ ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / 1 ) )
78	63	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) e. CC )
79	78	div1d 10793	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / 1 ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) )
80	77, 79	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / y ) <_ ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) )
81	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
82	58, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
83	54	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
84	82, 83	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
85	81, 84	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) e. RR )
86	81	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. CC )
87	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
88	87	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) e. CC )
89	86, 88	abs2dif2d 14197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) <_ ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + ( abs ` ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) )
90		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> 0 <_ (Λ ` m ) )
91	10, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` m ) )
92	10	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> m e. RR )
93	10	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> 1 <_ m )
94	92, 93	logge0d 24376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> 0 <_ ( log ` m ) )
95	12, 14, 91, 94	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
96	8, 15, 95	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 0 <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
98	81, 97	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
99		chpge0 24852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> 0 <_ (ψ ` y ) )
100	58, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 0 <_ (ψ ` y ) )
101	58, 76	logge0d 24376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 0 <_ ( log ` y ) )
102	82, 83, 100, 101	mulge0d 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) )
103	87, 102	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) = ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) )
104	98, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( ( abs ` sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + ( abs ` ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) )
105	89, 104	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) )
106		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
107	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
108	107, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
109	107	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
110	109	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
111	108, 110	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
112	107, 90	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` m ) )
113	107	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR )
114	107	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ m )
115	113, 114	logge0d 24376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( log ` m ) )
116	108, 110, 112, 115	mulge0d 10604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
117		flword2 12614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR /\ y <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` y ) ) )
118	58, 66, 69, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` y ) ) )
119		fzss2 12381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
121	106, 111, 116, 120	fsumless 14528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
122		chpwordi 24883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ x e. RR /\ y <_ x ) -> (ψ ` y ) <_ (ψ ` x ) )
123	58, 66, 69, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> (ψ ` y ) <_ (ψ ` x ) )
124	54, 70	logled 24373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( y <_ x <-> ( log ` y ) <_ ( log ` x ) ) )
125	69, 124	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( log ` y ) <_ ( log ` x ) )
126	82, 67, 83, 71, 100, 101, 123, 125	lemul12ad 10966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) <_ ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) )
127	81, 84, 65, 72, 121, 126	le2addd 10646	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
128	63, 85, 73, 105, 127	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
129	64, 63, 73, 80, 128	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) ) / y ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
130	62, 129	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ y e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) /\ y < x ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
131	6, 7, 29, 34, 51, 130	o1bddrp 14273	. . 3 |- ( T. -> E. c e. RR+ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ c )
132	131	trud 1493	. 2 |- E. c e. RR+ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ c
133		simpl 473	. . . 4 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ c ) -> c e. RR+ )
134		simpr 477	. . . 4 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ c ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ c )
135	133, 134	selberg3lem1 25246	. . 3 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ c ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1) )
136	135	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. c e. RR+ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ c -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1) )
137	132, 136	ax-mp 5	1 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1)

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  selberg3  25248  selberg4  25250