Theorem selberg4lem1 25249

Description: Lemma for selberg4 25250. Equation 10.4.20 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
selberg4lem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
selberg4lem1.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
selberg4lem1	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, m, n, x, y, A   ph, m, n, x

Allowed substitution hints:   ph( y, i)

Proof of Theorem selberg4lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 11093	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
2		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
3		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
5		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
7	6, 4	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
8		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
10		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR+
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
12		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
13		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
16	12, 9, 15	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
17	9, 11, 16	rpgecld 11911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
19	4	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
20	18, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
21	20	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
22	7, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
23	2, 22	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
24	9, 15	rplogcld 24375	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
25	23, 24	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
26	25	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
27	17	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
28	27	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
30	1, 26, 29	subdid 10486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) )
31	27	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
32		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 =/= 0 )
34	31, 1, 33	divcan2d 10803	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) = ( log ` x ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) )
36	30, 35	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) )
37	36	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) )
38		2re 11090	. . . . 5 |- 2 e. RR
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
40	25, 28	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. RR )
41		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
42		2cn 11091	. . . . . 6 |- 2 e. CC
43		o1const 14350	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 2 ) e. O(1) )
44	41, 42, 43	mp2an 708	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 2 ) e. O(1)
45	44	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 2 ) e. O(1) )
46		vmalogdivsum2 25227	. . . . 5 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)
47	46	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
48	39, 40, 45, 47	o1mul2 14355	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 2 x. ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) e. O(1) )
49	37, 48	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
50		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
51		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
53		vmacl 24844	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
55	52	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. RR+ )
56	55	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
57	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
58	57, 4	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
60	59, 52	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( x / n ) / m ) e. RR )
61		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x / n ) / m ) e. RR -> (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) e. RR )
63	56, 62	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) e. RR )
64	54, 63	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) e. RR )
65	50, 64	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) e. RR )
66	6, 65	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. RR )
67	2, 66	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. RR )
68	17, 24	rpmulcld 11888	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
69	67, 68	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
70	69, 27	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) e. RR )
71	70	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) e. CC )
72	23	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
73	24	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
74	72, 31, 73	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
75	1, 74	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. CC )
76	75, 31	subcld 10392	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) e. CC )
77	69	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
78	77, 75, 31	nnncan2d 10427	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) )
79	67	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. CC )
80	9	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
81	17	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
82	79, 80, 31, 81, 73	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
83	1, 72, 31, 73	divassd 10836	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
84	82, 83	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) ) )
85	67, 17	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
86	85	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
87	1, 72	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
88	86, 87, 31, 73	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
89	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x =/= 0 )
90	66, 57, 89	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
91	90	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
92	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. RR )
93	92, 22	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
94	93	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
95	2, 91, 94	fsumsub 14520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
96	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
97	65, 57, 89	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) e. RR )
98	97	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) e. CC )
99		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
100	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
101	4	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
102	4	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
103	100, 101, 102	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) e. CC )
104	99, 103	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) e. CC )
105	96, 98, 104	subdid 10486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) )
106	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) e. CC )
107	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
108	96, 106, 107, 89	divassd 10836	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) = ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) ) )
109	96, 101, 100, 102	div32d 10824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( 2 x. ( (Λ ` n ) x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) )
111	99, 96, 103	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( (Λ ` n ) x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) )
112	110, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) )
113	108, 112	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) )
114	105, 113	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
115	114	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
116	66	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) e. CC )
117	2, 80, 116, 81	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) )
118	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
119	2, 1, 118	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
120	117, 119	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 2 x. ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
121	95, 115, 120	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) )
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
123	88, 122	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
124	78, 84, 123	3eqtr2d 2662	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
125	124	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
126		1red 10055	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
127		selberg4lem1.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
128	127	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
129	128	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
130	2, 7	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
131	130, 24	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. RR )
132	127	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
133		o1const 14350	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
134	41, 132, 133	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
135		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
136		o1const 14350	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
137	41, 135, 136	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
138	131	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. CC )
139		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
140	130	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
141	140, 31, 31, 73	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) )
142	140, 31	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
143	142, 31, 73	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
144	31, 73	dividd 10799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
146	141, 143, 145	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
147	146	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) )
148	130, 27	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
149	12, 24	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
150	17	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
151	150	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
152		vmadivsum 25171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
154	151, 153	o1res2 14294	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
155		divlogrlim 24381	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
156		rlimo1 14347	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
157	155, 156	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
158	148, 149, 154, 157	o1mul2 14355	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
159	147, 158	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) e. O(1) )
160	138, 139, 159	o1dif 14360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) ) )
161	137, 160	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
162	129, 131, 134, 161	o1mul2 14355	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
163	129, 131	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. RR )
164	21, 4	nndivred 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) e. RR )
165	92, 164	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) e. RR )
166	97, 165	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) e. RR )
167	6, 166	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. RR )
168	2, 167	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. RR )
169	168, 24	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
170	169	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
171	168	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. CC )
172	171	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) e. RR )
173	129, 130	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
174	98, 104	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) e. CC )
175	96, 174	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. CC )
176	175	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) e. RR )
177	2, 176	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) e. RR )
178	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. CC )
179	2, 178	fsumabs 14533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) )
180	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
181	180, 7	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( (Λ ` n ) / n ) ) e. RR )
182	174	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) e. RR )
183	180, 4	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A / n ) e. RR )
184		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
185	4, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
186	106, 107, 101, 89, 102	divdiv2d 10833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) x. n ) / x ) )
187	106, 101, 107, 89	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) x. n ) / x ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) )
188	186, 187	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) )
189	99, 103, 101	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) = ( 2 x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) x. n ) ) )
190	100, 101, 102	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) x. n ) = ( log ` ( x / n ) ) )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) x. n ) ) = ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
192	189, 191	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) )
193	188, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) - ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) ) )
194	98, 104, 101	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) = ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) x. n ) - ( ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) x. n ) ) )
195	193, 194	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) )
196	195	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) ) )
197	174, 101	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) x. n ) ) = ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) )
198	4	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
199	19	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
200	198, 199	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
201	200	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. n ) )
202	196, 197, 201	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. n ) )
203	101	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
204		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
205	9, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
206	205	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
207	203, 206	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
208		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
209	208, 57, 19	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
210	207, 209	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
211		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
212		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) ) )
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) )
214	58, 210, 213	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) )
215		selberg4lem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
216	215	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
217		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = m -> (Λ ` i ) = (Λ ` m ) )
218		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = m -> ( log ` i ) = ( log ` m ) )
219		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = m -> ( y / i ) = ( y / m ) )
220	219	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = m -> (ψ ` ( y / i ) ) = (ψ ` ( y / m ) ) )
221	218, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = m -> ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) = ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) )
222	217, 221	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i = m -> ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) )
223	222	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) )
224		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = ( x / n ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / n ) ) )
225	224	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = ( x / n ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) )
226		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = ( x / n ) -> ( y / m ) = ( ( x / n ) / m ) )
227	226	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = ( x / n ) -> (ψ ` ( y / m ) ) = (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) )
228	227	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) = ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) )
229	228	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = ( x / n ) -> ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
230	229	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y = ( x / n ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
231	225, 230	sumeq12dv 14437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( y / m ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
232	223, 231	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) )
233		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
234	232, 233	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) )
235		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( x / n ) ) )
236	235	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> ( 2 x. ( log ` y ) ) = ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
237	234, 236	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
238	237	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
239	238	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ A ) )
240	239	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( y / i ) ) ) ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ A ) )
241	214, 216, 240	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / ( x / n ) ) - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ A )
242	202, 241	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. n ) <_ A )
243	182, 180, 19	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) x. n ) <_ A <-> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) <_ ( A / n ) ) )
244	242, 243	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) <_ ( A / n ) )
245	182, 183, 6, 185, 244	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) <_ ( (Λ ` n ) x. ( A / n ) ) )
246	96, 174	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` (Λ ` n ) ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) )
247	6, 185	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` (Λ ` n ) ) = (Λ ` n ) )
248	247	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` (Λ ` n ) ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) )
249	246, 248	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) )
250	132	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
251	250, 96, 101, 102	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( (Λ ` n ) / n ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( A / n ) ) )
252	245, 249, 251	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) <_ ( A x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
253	2, 176, 181, 252	fsumle 14531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
254	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
255	7	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
256	2, 254, 255	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( (Λ ` n ) / n ) ) )
257	253, 256	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) )
258	172, 177, 173, 179, 257	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) )
259	172, 173, 24, 258	lediv1dd 11930	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) / ( log ` x ) ) )
260	254, 140, 31, 73	divassd 10836	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) / ( log ` x ) ) = ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) )
261	259, 260	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) )
262	171, 31, 73	absdivd 14194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) )
263	24	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
264	27, 263	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
265	264	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
266	262, 265	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
267	128	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ A )
268	6, 19, 185	divge0d 11912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
269	2, 7, 268	fsumge0 14527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
270	130, 24, 269	divge0d 11912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
271	129, 131, 267, 270	mulge0d 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) )
272	163, 271	absidd 14161	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) ) = ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) )
273	261, 266, 272	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) ) )
274	273	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) ) )
275	126, 162, 163, 170, 274	o1le 14383	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) / x ) - ( 2 x. ( ( log ` ( x / n ) ) / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
276	125, 275	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) - ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
277	71, 76, 276	o1dif 14360	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) ) )
278	49, 277	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( ( log ` m ) + (ψ ` ( ( x / n ) / m ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826

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