selberg4 - Metamath Proof Explorer

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Theorem selberg4 25250

Description: The Selberg symmetry formula for products of three primes, instead of two. The sum here can also be written in the symmetric form

; we eliminate one of the nested sums by using the definition of ψ

. This statement can thus equivalently be written ψ

. Equation 10.4.23 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
selberg4	ψ Λ Λ ψ

Distinct variable group:

Proof of Theorem selberg4 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
3		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . 14
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
5		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
7	6	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
8	4, 7	rplogcld 24375	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
9	2, 8	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . 11 $/\$
10		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
11		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
13		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . 15 Λ
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ
15	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
16	15, 12	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
17		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ ψ
19	14, 18	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Λ ψ
20	12	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
21	20	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	19, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Λ ψ
23	10, 22	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ ψ
24	9, 23	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ
25	10, 19	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ
26	24, 25	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ ψ Λ ψ
27		1rp 11836	. . . . . . . . . . 11
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
29		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 $/\$
30	29, 4, 7	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 $/\$
31	4, 28, 30	rpgecld 11911	. . . . . . . . 9 $/\$
32	26, 31	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ Λ ψ
33	32	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ Λ ψ Λ ψ
34		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . 12 ψ
35	4, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
36	31	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37	35, 36	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ
38	37, 25	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ Λ ψ
39	38, 31	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 $/\$ ψ Λ ψ
40	39	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ ψ Λ ψ
41	2, 36	remulcld 10070	. . . . . . . 8 $/\$
42	41	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$
43	33, 40, 42	addsubassd 10412	. . . . . 6 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
44	26	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ ψ Λ ψ
45	38	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ ψ Λ ψ
46	4	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
47	31	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 $/\$
48	44, 45, 46, 47	divdird 10839	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
49	24	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ ψ
50	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ ψ
51	37	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
52	49, 50, 51	nppcan3d 10419	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ ψ ψ
53		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54	53	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
55		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Λ
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
57	14	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
58	20	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
59	58	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
60	57, 59	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
61	56, 60	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
62	61	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ Λ Λ
63	4, 62	fsumfldivdiag 24916	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ Λ Λ
64	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ
65	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ ψ
66	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
67	64, 65, 66	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ ψ
68	64, 66	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ
69	68, 65	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ ψ ψ Λ
70		chpval 24848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ψ Λ
71	16, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ ψ Λ
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ ψ Λ Λ Λ
73		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
74	56	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
75	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
76	73, 68, 75	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ
77	72, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ψ Λ Λ Λ
78	67, 69, 77	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ
79	78	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ ψ Λ Λ
80		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
81		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
83	82, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ
84	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ
85		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
87	86, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
88	86	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
89	88	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
90	87, 89	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
91	90	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
92	80, 84, 91	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ Λ
93	92	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ Λ Λ
94	63, 79, 93	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ ψ Λ Λ
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ ψ Λ Λ
96	95	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ ψ ψ Λ Λ ψ
97	52, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ Λ ψ
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ Λ ψ
99	48, 98	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ Λ ψ
100	99	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ Λ ψ
101	43, 100	eqtr3d 2658	. . . . 5 $/\$ Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ Λ ψ
102	101	mpteq2dva 4744	. . . 4 Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ Λ Λ ψ
103	39, 41	resubcld 10458	. . . . 5 $/\$ ψ Λ ψ
104		selberg3lem2 25247	. . . . . 6 Λ ψ Λ ψ
105	104	a1i 11	. . . . 5 Λ ψ Λ ψ
106	31	ex 450	. . . . . . 7
107	106	ssrdv 3609	. . . . . 6
108		selberg2 25240	. . . . . . 7 ψ Λ ψ
109	108	a1i 11	. . . . . 6 ψ Λ ψ
110	107, 109	o1res2 14294	. . . . 5 ψ Λ ψ
111	32, 103, 105, 110	o1add2 14354	. . . 4 Λ ψ Λ ψ ψ Λ ψ
112	102, 111	eqeltrrd 2702	. . 3 Λ Λ ψ
113	80, 90	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Λ
114	83, 113	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ Λ
115	10, 114	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ
116	9, 115	remulcld 10070	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ
117	116, 37	readdcld 10069	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ
118	117, 31	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ
119	118, 41	resubcld 10458	. . . . 5 $/\$ Λ Λ ψ
120	119	recnd 10068	. . . 4 $/\$ Λ Λ ψ
121	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
122	121, 82	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124	123, 86	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
125		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . 13 ψ
126	124, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
127	87, 126	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ
128	80, 127	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Λ ψ
129	83, 128	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
130	10, 129	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ
131	9, 130	remulcld 10070	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ
132	37, 131	resubcld 10458	. . . . . 6 $/\$ ψ Λ Λ ψ
133	132, 31	rerpdivcld 11903	. . . . 5 $/\$ ψ Λ Λ ψ
134	133	recnd 10068	. . . 4 $/\$ ψ Λ Λ ψ
135	116	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ
136	131	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ ψ
137	51, 135, 136	pnncand 10431	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
138	135, 51	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ
139	138	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
140	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ Λ
141	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
142	126	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
143	140, 141, 142	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ
144	143	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ
145	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ
146	80, 91, 145	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
147	144, 146	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ ψ
149	113	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ
150	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Λ ψ
151	84, 149, 150	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
152	148, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
153	152	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
154	114	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ
155	129	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
156	10, 154, 155	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
157	153, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
159	9	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
160	115	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ
161	130	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ ψ
162	159, 160, 161	adddid 10064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
163	158, 162	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ Λ Λ ψ
164	137, 139, 163	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
166	117	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ
167	51, 136	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ Λ Λ ψ
168	166, 167, 46, 47	divsubdird 10840	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ
169		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	89, 126	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ ψ
171	87, 170	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ Λ ψ
172	80, 171	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Λ ψ
173	83, 172	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Λ Λ ψ
174	10, 173	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Λ Λ ψ
175	174	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Λ Λ ψ
176	169, 175	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Λ Λ ψ
177	36	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
178	8	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
179	176, 177, 46, 178, 47	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
180	177, 46	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
181	180	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
182	179, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
183	169, 175, 177, 178	div23d 10838	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
184	183	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
185	31, 8	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
186	185	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 $/\$
187	185	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 $/\$
188	169, 175, 186, 187	divassd 10836	. . . . . . . . . 10 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
189	182, 184, 188	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
190	165, 168, 189	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
192	118	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ
193	192, 42, 134	sub32d 10424	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ
194	174, 185	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ Λ ψ
195	194	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ Λ Λ ψ
196	169, 195, 177	subdid 10486	. . . . . . 7 $/\$ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
197	191, 193, 196	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
198	197	mpteq2dva 4744	. . . . 5 Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ Λ Λ ψ
199	194, 36	resubcld 10458	. . . . . 6 $/\$ Λ Λ ψ
200		ioossre 12235	. . . . . . 7
201		2cnd 11093	. . . . . . 7
202		o1const 14350	. . . . . . 7 $/\$
203	200, 201, 202	sylancr 695	. . . . . 6
204		selbergb 25238	. . . . . . 7 Λ ψ
205		simpl 473	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ ψ
206		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ Λ ψ Λ ψ
207	205, 206	selberg4lem1 25249	. . . . . . . 8 $/\$ Λ ψ Λ Λ ψ
208	207	rexlimiva 3028	. . . . . . 7 Λ ψ Λ Λ ψ
209	204, 208	mp1i 13	. . . . . 6 Λ Λ ψ
210	2, 199, 203, 209	o1mul2 14355	. . . . 5 Λ Λ ψ
211	198, 210	eqeltrd 2701	. . . 4 Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ
212	120, 134, 211	o1dif 14360	. . 3 Λ Λ ψ ψ Λ Λ ψ
213	112, 212	mpbid 222	. 2 ψ Λ Λ ψ
214	213	trud 1493	1 ψ Λ Λ ψ

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

crp 11832

cioo 12175

cico 12177

cfz 12326

cfl 12591

cabs 13974

co1 14217

csu 14416

clog 24301 Λcvma 24818 ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-o1 14221 df-lo1 14222 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-em 24719 df-cht 24823 df-vma 24824 df-chp 24825 df-ppi 24826 df-mu 24827

This theorem is referenced by: selberg4r 25259

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