Theorem pntlemb 25286

Description: Lemma for pnt 25303. Unpack all the lower bounds contained in W, in the form they will be used. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, Z is x. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
pntlemb	|- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )

Distinct variable group:   E, a

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( a)   B( a)   C( a)   D( a)   R( a)   U( a)   F( a)   K( a)   L( a)   W( a)   X( a)   Y( a)   Z( a)

Proof of Theorem pntlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
2		pntlem1.r	. . . . . . . 8 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
3		pntlem1.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
4		pntlem1.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR+ )
5		pntlem1.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
6		pntlem1.d	. . . . . . . 8 |- D = ( A + 1 )
7		pntlem1.f	. . . . . . . 8 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
8		pntlem1.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. RR+ )
9		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U <_ A )
10		pntlem1.e	. . . . . . . 8 |- E = ( U / D )
11		pntlem1.k	. . . . . . . 8 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
12		pntlem1.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
13		pntlem1.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
14		pntlem1.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR+ )
15		pntlem1.w	. . . . . . . 8 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	pntlema 25285	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR+ )
17	16	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. RR )
18		pnfxr 10092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
19		elico2 12237	. . . . . 6 |- ( ( W e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( Z e. ( W [,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) ) )
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( Z e. ( W [,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) ) )
21	1, 20	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ W <_ Z /\ Z < +oo ) )
22	21	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> Z e. RR )
23	21	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> W <_ Z )
24	22, 16, 23	rpgecld 11911	. 2 |- ( ph -> Z e. RR+ )
25		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
26	25	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		ere 14819	. . . . . . 7 |- _e e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> _e e. RR )
29	24	rpsqrtcld 14150	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR+ )
30	29	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR )
31		1lt2 11194	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
32		egt2lt3 14934	. . . . . . . . 9 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
33	32	simpli 474	. . . . . . . 8 |- 2 < _e
34		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
35	25, 34, 27	lttri 10163	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 < 2 /\ 2 < _e ) -> 1 < _e )
36	31, 33, 35	mp2an 708	. . . . . . 7 |- 1 < _e
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < _e )
38		4re 11097	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR )
40	32	simpri 478	. . . . . . . . 9 |- _e < 3
41		3lt4 11197	. . . . . . . . 9 |- 3 < 4
42		3re 11094	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
43	27, 42, 38	lttri 10163	. . . . . . . . 9 |- ( ( _e < 3 /\ 3 < 4 ) -> _e < 4 )
44	40, 41, 43	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- _e < 4
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e < 4 )
46		4nn 11187	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
47		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
49	2, 3, 4, 5, 6, 7	pntlemd 25283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
50	49	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. RR+ )
51	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	pntlemc 25284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
52	51	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR+ )
53	50, 52	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR+ )
54		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR+ /\ ( L x. E ) e. RR+ ) -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
55	48, 53, 54	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR )
57	53	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR )
58	52	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR )
59	50	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L e. RR )
60		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
61	5, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
62	61	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L < 1 )
63	59, 26, 52, 62	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( L x. E ) < ( 1 x. E ) )
64	52	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. CC )
65	64	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
66	63, 65	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L x. E ) < E )
67	51	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
68	67	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
69		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
71	70	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E < 1 )
72	57, 58, 26, 66, 71	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L x. E ) < 1 )
73		4pos 11116	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 4
74	39, 73	jctir 561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) )
75		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L x. E ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( L x. E ) < 1 <-> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) ) )
76	57, 26, 74, 75	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( L x. E ) < 1 <-> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) ) )
77	72, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 4 x. ( L x. E ) ) < ( 4 x. 1 ) )
78		4cn 11098	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. CC
79	78	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 x. 1 ) = 4
80	77, 79	syl6breq 4694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 x. ( L x. E ) ) < 4 )
81	39, 39, 53	ltmuldivd 11919	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( L x. E ) ) < 4 <-> 4 < ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
82	80, 81	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 < ( 4 / ( L x. E ) ) )
83	12	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR+ )
84	83, 55	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR+ )
85	84	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR )
86	56, 83	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) < ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
87	85	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
88	13	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. RR+ )
89	51	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> K e. RR+ )
90		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
91		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( K ^ 2 ) e. RR+ )
92	89, 90, 91	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K ^ 2 ) e. RR+ )
93	88, 92	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ )
94		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 e. ZZ
95		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ )
96	93, 94, 95	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ )
97		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. NN0
98		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN
99	97, 98	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ; 3 2 e. NN
100		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ; 3 2 e. RR+
102		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
103	101, 4, 102	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
104	67	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
105		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
106	52, 90, 105	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
107	50, 106	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
108	104, 107	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. RR+ )
109	103, 108	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) e. RR+ )
110		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 3 e. NN
111		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 e. NN -> 3 e. RR+ )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. RR+
113		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( U x. 3 ) e. RR+ )
114	8, 112, 113	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. RR+ )
115	114, 14	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR+ )
116	109, 115	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR+ )
117	116	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR )
118	117	rpefcld 14835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) e. RR+ )
119	96, 118	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. RR+ )
120	87, 119	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) ) )
121	120, 15	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < W )
122	87, 17, 22, 121, 23	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < Z )
123	24	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
124		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
126	122, 125	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) )
127	84	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) )
128	29	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) )
129		lt2sq 12937	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) /\ ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) ) -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) <-> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
130	127, 128, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) <-> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
131	126, 130	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) < ( sqr ` Z ) )
132	56, 85, 30, 86, 131	lttrd 10198	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) < ( sqr ` Z ) )
133	39, 56, 30, 82, 132	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 < ( sqr ` Z ) )
134	28, 39, 30, 45, 133	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ph -> _e < ( sqr ` Z ) )
135	26, 28, 30, 37, 134	lttrd 10198	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( sqr ` Z ) )
136		0le1 10551	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ 1 )
138		lt2sq 12937	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) ) -> ( 1 < ( sqr ` Z ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
139	26, 137, 128, 138	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 < ( sqr ` Z ) <-> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
140	135, 139	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) < ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) )
141		sq1 12958	. . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
142	141	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
143	140, 142, 125	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ph -> 1 < Z )
144	28, 30, 134	ltled 10185	. . 3 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` Z ) )
145	22, 83	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ph -> ( Z / Y ) e. RR )
146	83	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. RR )
147	146, 55	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y < ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) )
148	146, 85, 30, 147, 131	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y < ( sqr ` Z ) )
149	146, 30, 29, 148	ltmul2dd 11928	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) )
150		remsqsqrt 13997	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
151	123, 150	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
152	149, 151	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < Z )
153	30, 22, 83	ltmuldivd 11919	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` Z ) x. Y ) < Z <-> ( sqr ` Z ) < ( Z / Y ) ) )
154	152, 153	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) < ( Z / Y ) )
155	30, 145, 154	ltled 10185	. . 3 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) )
156	143, 144, 155	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
157	56, 30, 132	ltled 10185	. . 3 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) )
158	88	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` X ) e. RR )
159	89	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
160	67	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < K )
161	159, 160	rplogcld 24375	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` K ) e. RR+ )
162	158, 161	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) e. RR )
163		readdcl 10019	. . . . 5 |- ( ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) e. RR )
164	162, 34, 163	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) e. RR )
165	24	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
166	165, 161	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR )
167		nndivre 11056	. . . . 5 |- ( ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
168	166, 46, 167	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) e. RR )
169	93	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) e. RR )
170		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` Z ) e. RR /\ 4 e. NN ) -> ( ( log ` Z ) / 4 ) e. RR )
171	165, 46, 170	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / 4 ) e. RR )
172		relogexp 24342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) )
173	93, 94, 172	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) = ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) )
174	96	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR )
175	119	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. RR )
176	174, 118	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
177		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
178	84, 90, 177	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
179	175, 178	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
180	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
181	119	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) e. CC )
182	180, 181	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
183	15, 182	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W = ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) + ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) ) )
184	179, 183	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < W )
185	175, 17, 22, 184, 23	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) < Z )
186	174, 175, 22, 176, 185	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z )
187		logltb 24346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) e. RR+ /\ Z e. RR+ ) -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z <-> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) ) )
188	96, 24, 187	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) < Z <-> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) ) )
189	186, 188	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) ) < ( log ` Z ) )
190	173, 189	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) )
191		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) e. RR /\ ( log ` Z ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) ) )
192	169, 165, 74, 191	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) ) )
193	190, 192	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) < ( ( log ` Z ) / 4 ) )
194	169, 171, 161, 193	ltdiv1dd 11929	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) < ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) )
195	88, 92	relogmuld 24371	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( log ` ( K ^ 2 ) ) ) )
196		relogexp 24342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( log ` ( K ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` K ) ) )
197	89, 90, 196	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( K ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` K ) ) )
198	197	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` X ) + ( log ` ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) )
199	195, 198	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) = ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) )
200	199	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) )
201	158	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` X ) e. CC )
202		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
203	161	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` K ) e. CC )
204	202, 203	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( log ` K ) ) e. CC )
205	161	rpcnne0d 11881	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) )
206		divdir 10710	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` X ) e. CC /\ ( 2 x. ( log ` K ) ) e. CC /\ ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) )
207	201, 204, 205, 206	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) + ( 2 x. ( log ` K ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) )
208	205	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` K ) =/= 0 )
209	202, 203, 208	divcan4d 10807	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) = 2 )
210	209	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + ( ( 2 x. ( log ` K ) ) / ( log ` K ) ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) )
211	200, 207, 210	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( X x. ( K ^ 2 ) ) ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) )
212	165	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
213		rpcnne0 11850	. . . . . . 7 |- ( 4 e. RR+ -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
214	48, 213	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
215		divdiv32 10733	. . . . . 6 |- ( ( ( log ` Z ) e. CC /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) /\ ( ( log ` K ) e. CC /\ ( log ` K ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
216	212, 214, 205, 215	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / 4 ) / ( log ` K ) ) = ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
217	194, 211, 216	3brtr3d 4684	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) < ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
218	164, 168, 217	ltled 10185	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) )
219	115	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR )
220	108, 103	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
221	220	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR )
222	221, 165	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
223	115	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC )
224	108	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) )
225	103	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
226		divdiv2 10737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC /\ ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
227	223, 224, 225, 226	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
228	103	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. CC )
229	223, 228	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) = ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
230	229	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) x. (; 3 2 x. B ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) )
231		div23 10704	. . . . . . . . 9 |- ( ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ ( ( U x. 3 ) + C ) e. CC /\ ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) e. CC /\ ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
232	228, 223, 224, 231	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
233	227, 230, 232	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
234	117	reefcld 14818	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) e. RR )
235	234, 96	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
236	234, 175, 22, 235, 185	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < Z )
237	24	reeflogd 24370	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` Z ) ) = Z )
238	236, 237	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) )
239		eflt 14847	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) e. RR /\ ( log ` Z ) e. RR ) -> ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) <-> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) ) )
240	117, 165, 239	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) <-> ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) < ( exp ` ( log ` Z ) ) ) )
241	238, 240	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) < ( log ` Z ) )
242	233, 241	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) < ( log ` Z ) )
243	219, 165, 220	ltdivmuld 11923	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( U x. 3 ) + C ) / ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) < ( log ` Z ) <-> ( ( U x. 3 ) + C ) < ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
244	242, 243	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) < ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
245	219, 222, 244	ltled 10185	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) )
246	104	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
247	107	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC )
248		divass 10703	. . . . . 6 |- ( ( ( U - E ) e. CC /\ ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. CC /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) )
249	246, 247, 225, 248	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) )
250	249	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
251	245, 250	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
252	157, 218, 251	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
253	24, 156, 252	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   ZZcz 11377  ;cdc 11493   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  pntlemg  25287  pntlemh  25288  pntlemn  25289  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296