Theorem pntrlog2bnd 25273

Description: A bound on R ( x ) log ^ 2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bnd	|- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Distinct variable groups:   x, n, c, R   a, c, n, x, A

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd

Dummy variables i y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossre 12235	. . 3 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
3		1red 10055	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 e. RR )
4	2	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
5		1rp 11836	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
7		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
8		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
10	9	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
11	7, 4, 10	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
12	4, 6, 11	rpgecld 11911	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
13		pntpbnd.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
14	13	pntrf 25252	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
15	14	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
18	17	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
19	12	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	18, 19	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
21		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
23	4, 10	rplogcld 24375	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
24	22, 23	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
25		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
26	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> x e. RR+ )
27		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) -> n e. NN )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
29	28	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
30	26, 29	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
31	14	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
34	33	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
35	29	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
36	34, 35	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
37	25, 36	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
38	24, 37	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
39	20, 38	resubcld 10458	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
40	39, 12	rerpdivcld 11903	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
41	13	pntrmax 25253	. . 3 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c
42		eqid 2622	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) ) = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
43		eqid 2622	. . . . 5 |- ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) ) = ( a e. RR |-> if ( a e. RR+ , ( a x. ( log ` a ) ) , 0 ) )
44		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> c e. RR+ )
45		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c )
46		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> A e. RR )
47		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> 1 <_ A )
48	42, 13, 43, 44, 45, 46, 47	pntrlog2bndlem6 25272	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
49	48	rexlimdvaa 3032	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ c -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) ) )
50	41, 49	mpi 20	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. <_O(1) )
51		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR )
52		chpcl 24850	. . . . 5 |- ( y e. RR -> (ψ ` y ) e. RR )
53	51, 52	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
54	53, 51	readdcld 10069	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
55	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 e. RR+ )
56		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ y )
57	51, 55, 56	rpgecld 11911	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR+ )
58	57	relogcld 24369	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
59	54, 58	remulcld 10070	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
60	40	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
61	53	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. RR )
62		simprll 802	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR )
63	61, 62	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. RR )
64	57	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR+ )
65	64	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
66	63, 65	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
67	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR+ )
68	66, 67	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) e. RR )
69	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
70	69	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) e. CC )
71	70	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) e. RR )
72	67	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
73	71, 72	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
74	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
75	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
77	73, 76	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
78	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR )
79	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR )
80	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 < x )
81	79, 80	rplogcld 24375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
82		2rp 11837	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. RR+ )
84	83	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ 2 )
85	78, 81, 84	divge0d 11912	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( 2 / ( log ` x ) ) )
86		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) e. Fin )
87	36	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
88	33	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
89	88	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
90	29	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR+ )
91	90	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
92	88	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) )
93	90	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. RR )
94	27	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> n e. NN )
95	94	nnge1d 11063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 1 <_ n )
96	93, 95	logge0d 24376	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( log ` n ) )
97	89, 91, 92, 96	mulge0d 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
98	86, 87, 97	fsumge0 14527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
99	74, 75, 85, 98	mulge0d 10604	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
100	73, 76	subge02d 10619	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 0 <_ ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <-> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
101	99, 100	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) )
102	70	absge0d 14183	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( R ` x ) ) )
103	81	rpge0d 11876	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
104		chpcl 24850	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
105	79, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
106	105, 79	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. RR )
107	13	pntrval 25251	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
108	67, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) = ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) )
110	105	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
111	79	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. CC )
112	110, 111	abs2dif2d 14197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) )
113		chpge0 24852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> 0 <_ (ψ ` x ) )
114	79, 113	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` x ) )
115	105, 114	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` (ψ ` x ) ) = (ψ ` x ) )
116	67	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ x )
117	79, 116	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` x ) = x )
118	115, 117	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` (ψ ` x ) ) + ( abs ` x ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
119	112, 118	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` x ) - x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
120	109, 119	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` x ) + x ) )
121		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x < y )
122	79, 62, 121	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x <_ y )
123		chpwordi 24883	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
124	79, 62, 122, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
125	105, 79, 61, 62, 124, 122	le2addd 10646	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
126	71, 106, 63, 120, 125	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( R ` x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
127	67, 64	logled 24373	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( x <_ y <-> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) ) )
128	122, 127	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) )
129	71, 63, 72, 65, 102, 103, 126, 128	lemul12ad 10966	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
130	77, 73, 66, 101, 129	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
131	77, 66, 67, 130	lediv1dd 11930	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) )
132	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 e. RR+ )
133		chpge0 24852	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> 0 <_ (ψ ` y ) )
134	62, 133	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ (ψ ` y ) )
135	64	rpge0d 11876	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ y )
136	61, 62, 134, 135	addge0d 10603	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` y ) + y ) )
137		simprlr 803	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ y )
138	62, 137	logge0d 24376	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` y ) )
139	63, 65, 136, 138	mulge0d 10604	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
140	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ x )
141	132, 67, 66, 139, 140	lediv2ad 11894	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) )
142	61	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> (ψ ` y ) e. CC )
143	62	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. CC )
144	142, 143	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( (ψ ` y ) + y ) e. CC )
145	65	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. CC )
146	144, 145	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) e. CC )
147	146	div1d 10793	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / 1 ) = ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
148	141, 147	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
149	60, 68, 66, 131, 148	letrd 10194	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ ( ( (ψ ` y ) + y ) x. ( log ` y ) ) )
150	2, 3, 40, 50, 59, 149	lo1bddrp 14256	1 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` x ) ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / A ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) <_ c )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   <_O(1)clo1 14218   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pntlemp  25299