Theorem pntrlog2bndlem3 25268

Description: Lemma for pntrlog2bnd 25273. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bndlem3.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntrlog2bndlem3.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem3	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   R( i, a)   S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		pntrlog2bndlem3.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	2	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
5		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
6		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
8	7	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
9		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
11		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
13		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
14		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
17	13, 10, 16	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
18	10, 12, 17	rpgecld 11911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
20	7	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
21	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
22	20, 21	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
23	19, 22	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ )
24		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
25	24	pntrf 25252	. . . . . . . . . . 11 |- R : RR+ --> RR
26	25	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
27	23, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
28	27	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
29	19, 20	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
30	25	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32	31	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
33	28, 32	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
34	33	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
35	8, 34	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
36	5, 35	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
37	10, 16	rplogcld 24375	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
38	18, 37	rpmulcld 11888	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
39	36, 38	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
40		ioossre 12235	. . . 4 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
41	2	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
42		o1const 14350	. . . 4 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
43	40, 41, 42	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
44		chpo1ubb 25170	. . . 4 |- E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y )
45		pntsval.1	. . . . . 6 |- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
46		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> c e. RR+ )
47		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) )
48	45, 24, 46, 47	pntrlog2bndlem2 25267	. . . . 5 |- ( ( c e. RR+ /\ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
49	48	rexlimiva 3028	. . . 4 |- ( E. c e. RR+ A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( c x. y ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
50	44, 49	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
51	4, 39, 43, 50	o1mul2 14355	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
52	4, 39	remulcld 10070	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
53	32	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
54	28	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
55	53, 54	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
56	45	pntsf 25262	. . . . . . . . 9 |- S : RR --> RR
57	56	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( S ` n ) e. RR )
58	8, 57	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. RR )
59		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. RR )
61	20	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
62	8, 61	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( log ` n ) ) e. RR )
63	60, 62	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
64	58, 63	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
65	55, 64	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
66	5, 65	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
67	66, 38	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
68	67	recnd 10068	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
69	68	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
70	52	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. CC )
71	70	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. RR )
72	66	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
73	72	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
74	4, 36	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
75	65	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
76	75	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
77	5, 76	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
78	5, 75	fsumabs 14533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
79	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
80	79, 35	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
81	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
82	81	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) e. RR )
83	64	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
84	83	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
85	79, 8	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. RR )
86	81	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
87	83	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
88	32, 28	abs2difabsd 14198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
89	32, 28	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / n ) ) - ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
90	88, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
91	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( S ` n ) e. CC )
92	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
93	7	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
94	91, 92, 93	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( S ` n ) / n ) e. CC )
95		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
96	61	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
97	95, 96	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( log ` n ) ) e. CC )
98	94, 97	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
99	98, 92	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) )
100	94, 97, 92	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) )
101	91, 92, 93	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) = ( S ` n ) )
102	95, 92, 96	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) )
103	95, 92, 96	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. n ) x. ( log ` n ) ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
104	102, 103	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) = ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) )
105	101, 104	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) x. n ) - ( ( 2 x. ( log ` n ) ) x. n ) ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
106	100, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) = ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) x. n ) ) = ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
108	20	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
109	8, 108	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
111	99, 107, 110	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) )
112	98	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
113	7	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ n )
114		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
115		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. RR -> ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) ) )
116	114, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( n e. RR /\ 1 <_ n ) )
117	8, 113, 116	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. ( 1 [,) +oo ) )
118		pntrlog2bndlem3.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
119	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A )
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( S ` y ) = ( S ` n ) )
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> y = n )
122	120, 121	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( ( S ` y ) / y ) = ( ( S ` n ) / n ) )
123		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( log ` y ) = ( log ` n ) )
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = n -> ( 2 x. ( log ` y ) ) = ( 2 x. ( log ` n ) ) )
125	122, 124	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = n -> ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) = ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = n -> ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) = ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) )
127	126	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = n -> ( ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
128	127	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( ( S ` y ) / y ) - ( 2 x. ( log ` y ) ) ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A ) )
129	117, 119, 128	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) <_ A )
130	112, 79, 8, 108, 129	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( S ` n ) / n ) - ( 2 x. ( log ` n ) ) ) ) x. n ) <_ ( A x. n ) )
131	111, 130	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) <_ ( A x. n ) )
132	82, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 131	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
133	81, 83	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) ) x. ( abs ` ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) )
134	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
135	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
136	134, 92, 135	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
137	134, 92	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. n ) e. CC )
138	137, 135	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. n ) x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
139	136, 138	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) x. ( A x. n ) ) )
140	132, 133, 139	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
141	5, 76, 80, 140	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
142	41	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
143	35	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
144	5, 142, 143	fsummulc2 14516	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( A x. ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
145	141, 144	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
146	73, 77, 74, 78, 145	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) <_ ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
147	73, 74, 38, 146	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
148	38	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. CC )
149	38	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) =/= 0 )
150	72, 148, 149	absdivd 14194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
151	38	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR )
152	38	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( x x. ( log ` x ) ) )
153	151, 152	absidd 14161	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( x x. ( log ` x ) ) )
154	153	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
155	150, 154	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
156	36	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
157	142, 156, 148, 149	divassd 10836	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
158	147, 155, 157	3brtr3d 4684	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
159	52	leabsd 14153	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
160	69, 52, 71, 158, 159	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
161	160	adantrr 753	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
162	1, 51, 52, 68, 161	o1le 14383	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( x / n ) ) ) - ( abs ` ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) x. ( ( S ` n ) - ( 2 x. ( n x. ( log ` n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  25269