Theorem pntrlog2bndlem2 25267

Description: Lemma for pntrlog2bnd 25273. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntsval.1	|- S = ( a e. RR |-> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` a ) ) ( (Λ ` i ) x. ( ( log ` i ) + (ψ ` ( a / i ) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntrlog2bndlem2.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntrlog2bndlem2.2	|- ( ph -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrlog2bndlem2	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   i, a, n, x, y, A   ph, n, x   S, n, x, y   R, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, a)   R( i, a)   S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
4		chpcl 24850	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` x ) e. RR )
6	5	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` x ) e. CC )
7		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
9		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
11	10	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
12	8, 11	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR )
13		chpcl 24850	. . . . . . . . 9 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
15	14, 12	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
16	7, 15	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
18	3	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
19		eliooord 12233	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
22	3, 21	rplogcld 24375	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
23	22	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
24	18, 23	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. CC )
25		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
27		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
28	27, 3, 21	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
29	3, 26, 28	rpgecld 11911	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
30	29	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
31	22	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
32	18, 23, 30, 31	mulne0d 10679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) =/= 0 )
33	6, 17, 24, 32	divdird 10839	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
34	33	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
35	29, 22	rpmulcld 11888	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
36	5, 35	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
37	16, 35	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
38	6, 18, 23, 30, 31	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
39	5, 29	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. CC )
41	40, 23, 31	divrecd 10804	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
42	38, 41	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
43	42	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
44	22	rprecred 11883	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
45	29	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
46	45	ssrdv 3609	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
47		chpo1ub 25169	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1)
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1) )
49	46, 48	o1res2 14294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1) )
50		divlogrlim 24381	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
51		rlimo1 14347	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
52	50, 51	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
53	39, 44, 49, 52	o1mul2 14355	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
54	43, 53	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
55		pntrlog2bndlem2.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR+ )
56	55	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
57	56, 1	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
58	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A + 1 ) e. RR )
59	27, 44	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. RR )
60		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
61	57	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. CC )
62		o1const 14350	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ ( A + 1 ) e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A + 1 ) ) e. O(1) )
63	60, 61, 62	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A + 1 ) ) e. O(1) )
64		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. CC )
65		o1const 14350	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
66	60, 64, 65	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
67	27, 44, 66, 52	o1add2 14354	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
68	58, 59, 63, 67	o1mul2 14355	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
69	58, 59	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
70	37	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
71		chpge0 24852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR -> 0 <_ (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
72	12, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
73	10	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
74	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR+ )
75	73, 74	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
76	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
77	76	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ x )
78	8, 75, 77	divge0d 11912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / ( n + 1 ) ) )
79	14, 12, 72, 78	addge0d 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
80	7, 15, 79	fsumge0 14527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
81	16, 35, 80	divge0d 11912	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
82	37, 81	absidd 14161	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
83	69	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. CC )
84	83	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) e. RR )
85	16, 29	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) e. RR )
86	29	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
87	86, 27	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. RR )
88	58, 87	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) e. RR )
89	58, 3	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. RR )
90	10	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
91	7, 90	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) e. RR )
92	89, 91	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) e. RR )
93	89, 87	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) e. RR )
94	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
95		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
96	94, 95	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A + 1 ) e. RR )
97	96, 8	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. RR )
98	97, 90	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) e. RR )
99	97, 11	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) e. RR )
100	97, 10	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) e. RR )
101	94, 12	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
102	76, 75	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ )
103		pntrlog2bndlem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) )
104	103	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) )
105		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / ( n + 1 ) ) -> (ψ ` y ) = (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
106		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / ( n + 1 ) ) -> ( A x. y ) = ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) )
107	105, 106	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / ( n + 1 ) ) -> ( (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) <-> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
108	107	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( A. y e. RR+ (ψ ` y ) <_ ( A x. y ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
109	102, 104, 108	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) )
110	14, 101, 12, 109	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
111	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A + 1 ) e. CC )
112	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
113	10	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
114		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
115	113, 114	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) e. CC )
116	11	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n + 1 ) =/= 0 )
117	111, 112, 115, 116	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( x / ( n + 1 ) ) ) )
118	94	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
119	112, 115, 116	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) e. CC )
120	118, 114, 119	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( 1 x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
121	119	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( x / ( n + 1 ) ) )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( 1 x. ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
123	117, 120, 122	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) = ( ( A x. ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
124	110, 123	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) )
125	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
126	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR+ )
127	126	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ A )
128	26	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ 1 )
129	125, 27, 127, 128	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( A + 1 ) )
130	29	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ x )
131	58, 3, 129, 130	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( ( A + 1 ) x. x ) )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( A + 1 ) x. x ) )
133	10	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR )
134	133	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ ( n + 1 ) )
135	73, 75, 97, 132, 134	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / ( n + 1 ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) )
136	15, 99, 100, 124, 135	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) )
137	97	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. CC )
138	10	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
139	137, 113, 138	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) / n ) = ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
140	136, 139	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
141	7, 15, 98, 140	fsumle 14531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
142	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. x ) e. CC )
143	113, 138	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
144	7, 142, 143	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( 1 / n ) ) )
145	141, 144	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) )
146		harmonicubnd 24736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR /\ 1 <_ x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
147	3, 28, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) <_ ( ( log ` x ) + 1 ) )
148	91, 87, 89, 131, 147	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / n ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) )
149	16, 92, 93, 145, 148	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) )
150	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A + 1 ) e. CC )
151	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. CC )
152	150, 18, 151	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. x ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) = ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. x ) )
153	149, 152	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. x ) )
154	16, 88, 29	ledivmul2d 11926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) <_ ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) <-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) x. x ) ) )
155	153, 154	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) <_ ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) )
156	85, 88, 22, 155	lediv1dd 11930	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) / ( log ` x ) ) )
157	17, 18, 23, 30, 31	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
158		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
159	23, 158	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) + 1 ) e. CC )
160	150, 159, 23, 31	divassd 10836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) ) )
161	23, 158, 23, 31	divdird 10839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) + ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
162	23, 31	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) + ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
164	161, 163	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) = ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) )
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( ( ( log ` x ) + 1 ) / ( log ` x ) ) ) )
166	160, 165	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( A + 1 ) x. ( ( log ` x ) + 1 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
167	156, 157, 166	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
168	69	leabsd 14153	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
169	37, 69, 84, 167, 168	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
170	82, 169	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
171	170	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( A + 1 ) x. ( 1 + ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) ) )
172	1, 68, 69, 70, 171	o1le 14383	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
173	36, 37, 54, 172	o1add2 14354	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
174	34, 173	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
175	5, 16	readdcld 10069	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
176	175, 35	rerpdivcld 11903	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
177		pntrlog2bnd.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
178	177	pntrf 25252	. . . . . . . . . . 11 |- R : RR+ --> RR
179	178	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
180	102, 179	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
181	180	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
182	76, 73	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
183	178	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
185	184	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
186	181, 185	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
187	186	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
188	133, 187	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
189	7, 188	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
190	189, 35	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
191	190	recnd 10068	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
192	73	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ n )
193	186	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) )
194	133, 187, 192, 193	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) )
195	7, 188, 194	fsumge0 14527	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) )
196	189, 35, 195	divge0d 11912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
197	190, 196	absidd 14161	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
198	6, 17	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. CC )
199	198, 24, 32	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
200	199	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
201	8, 10	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
202		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / n ) e. RR -> (ψ ` ( x / n ) ) e. RR )
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / n ) ) e. RR )
204	203, 201	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) e. RR )
205	204, 15	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
206	133, 205	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. RR )
207	177	pntrval 25251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR+ -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) )
208	102, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) )
209	177	pntrval 25251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) )
210	182, 209	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) )
211	208, 210	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) ) )
212	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
213	203	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / n ) ) e. CC )
214	112, 113, 138	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
215	212, 119, 213, 214	sub4d 10441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) - ( x / n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) )
216	211, 215	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) )
217	216	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) = ( abs ` ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) )
218	212, 213	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) e. CC )
219	119, 214	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) e. CC )
220	218, 219	abs2dif2d 14197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) - ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) )
221	217, 220	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) )
222	73, 75, 8, 77, 134	lediv2ad 11894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / ( n + 1 ) ) <_ ( x / n ) )
223		chpwordi 24883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x / ( n + 1 ) ) e. RR /\ ( x / n ) e. RR /\ ( x / ( n + 1 ) ) <_ ( x / n ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ (ψ ` ( x / n ) ) )
224	12, 201, 222, 223	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) <_ (ψ ` ( x / n ) ) )
225	14, 203, 224	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) - (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
226	12, 201, 222	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) = ( ( x / n ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) )
227	225, 226	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) - (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) + ( ( x / n ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
228	213, 214, 212, 119	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) - (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) ) + ( ( x / n ) - ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
229	227, 228	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - (ψ ` ( x / n ) ) ) ) + ( abs ` ( ( x / ( n + 1 ) ) - ( x / n ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
230	221, 229	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
231	187, 205, 133, 192, 230	lemul2ad 10964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
232	7, 188, 206, 231	fsumle 14531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
233	205	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) e. CC )
234	113, 233	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
235	7, 234	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) e. CC )
236	6, 17	negdi2d 10406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( -u (ψ ` x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
237	29	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
238		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
239		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
240	237, 238, 239	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
241	3, 240	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) e. RR )
242		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
243	242	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
244		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> x < ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
245	3, 244	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x < ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
246	240	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. CC )
247	246	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. 1 ) = ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
248	245, 247	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x < ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. 1 ) )
249	240	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR+ )
250	3, 27, 249	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 1 <-> x < ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. 1 ) ) )
251	248, 250	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 1 )
252		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 < 2
253	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < 2 )
254	241, 27, 243, 251, 253	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 2 )
255		chpeq0 24933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) e. RR -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = 0 <-> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 2 ) )
256	241, 255	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = 0 <-> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) < 2 ) )
257	254, 256	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = 0 )
258	257	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = ( 0 + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
259	241	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) e. CC )
260	259	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 0 + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
261	258, 260	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
262	261	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
263	240	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) =/= 0 )
264	18, 246, 263	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) = x )
265	262, 264	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) = x )
266	18	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x / 1 ) = x )
267	266	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> (ψ ` ( x / 1 ) ) = (ψ ` x ) )
268	267, 266	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
269	268	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) = ( 1 x. ( (ψ ` x ) + x ) ) )
270	5, 3	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. RR )
271	270	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( (ψ ` x ) + x ) e. CC )
272	271	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` x ) + x ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
273	269, 272	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) = ( (ψ ` x ) + x ) )
274	265, 273	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) = ( x - ( (ψ ` x ) + x ) ) )
275	271, 18	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( ( (ψ ` x ) + x ) - x ) = ( x - ( (ψ ` x ) + x ) ) )
276	6, 18	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + x ) - x ) = (ψ ` x ) )
277	276	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( ( (ψ ` x ) + x ) - x ) = -u (ψ ` x ) )
278	274, 275, 277	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) = -u (ψ ` x ) )
279	3	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
280		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. ZZ -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
281	279, 280	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) = ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
282	281	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
283	113, 114	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( n + 1 ) - n ) = 1 )
284	283	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
285	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
286	285	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
287	284, 286	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
288	282, 287	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
289	278, 288	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( -u (ψ ` x ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
290		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( x / m ) = ( x / n ) )
291	290	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / n ) ) )
292	291, 290	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) )
293	292	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m = n /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) )
294		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( x / m ) = ( x / ( n + 1 ) ) )
295	294	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n + 1 ) -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) )
296	295, 294	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) )
297	296	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( m = ( n + 1 ) /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
298		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = 1 -> ( x / m ) = ( x / 1 ) )
299	298	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = 1 -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / 1 ) ) )
300	299, 298	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = 1 -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) )
301	300	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( m = 1 /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) )
302		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( x / m ) = ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
303	302	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> (ψ ` ( x / m ) ) = (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
304	303, 302	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) )
305	304	ancli 574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( m = ( ( |_ ` x ) + 1 ) /\ ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) = ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) )
306		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
307	240, 306	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
308		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> m e. NN )
309	308	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
310	309	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> m e. CC )
311	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> x e. RR )
312	311, 309	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( x / m ) e. RR )
313		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / m ) e. RR -> (ψ ` ( x / m ) ) e. RR )
314	312, 313	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> (ψ ` ( x / m ) ) e. RR )
315	314, 312	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) e. RR )
316	315	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) + ( x / m ) ) e. CC )
317	293, 297, 301, 305, 307, 310, 316	fsumparts 14538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
318	213, 214	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) e. CC )
319	212, 119	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) e. CC )
320	318, 319	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> -u ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) )
321	320	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. -u ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) )
322	113, 233	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. -u ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
323	321, 322	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) = -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
324	282, 323	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
325	317, 324	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) x. ( (ψ ` ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) + ( x / ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) ) - ( 1 x. ( (ψ ` ( x / 1 ) ) + ( x / 1 ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1..^ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ( ( ( n + 1 ) - n ) x. ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
326	236, 289, 325	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
327	7, 234	fsumneg 14519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -u ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = -u sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) )
328	326, 327	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> -u sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = -u ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
329	235, 198, 328	neg11d 10404	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( ( (ψ ` ( x / n ) ) + ( x / n ) ) - ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) ) = ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
330	232, 329	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) )
331	189, 175, 35, 330	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
332	176	leabsd 14153	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
333	190, 176, 200, 331, 332	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
334	197, 333	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
335	334	adantrr 753	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( (ψ ` x ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (ψ ` ( x / ( n + 1 ) ) ) + ( x / ( n + 1 ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
336	1, 174, 176, 191, 335	o1le 14383	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( n x. ( abs ` ( ( R ` ( x / ( n + 1 ) ) ) - ( R ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem3  25268