Theorem selberg34r 25260

Description: The sum of selberg3r 25258 and selberg4r 25259. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
selberg34r	|- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. O(1)

Distinct variable groups:   m, a, n, x   y, m, R, n, x

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem selberg34r

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. RR )
3		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
5		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
7		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
8		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
10	9	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
11	7, 4, 10	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
12	4, 6, 11	rpgecld 11911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
13		pntrval.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
14	13	pntrf 25252	. . . . . . . . . . . 12 |- R : RR+ --> RR
15	14	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( R ` x ) e. RR )
17	12	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
18	16, 17	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
19	2, 18	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
21	4, 10	rplogcld 24375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
22	2, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
23	22	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. CC )
24		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
25	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
26		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
28	27	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
29	25, 28	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
30	14	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
32		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
33		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> { y e. NN | y || n } C_ ( 1 ... n ) )
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || n } C_ ( 1 ... n ) )
35		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... n ) e. Fin /\ { y e. NN | y || n } C_ ( 1 ... n ) ) -> { y e. NN | y || n } e. Fin )
36	32, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || n } e. Fin )
37		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. NN | y || n } C_ NN
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> m e. { y e. NN | y || n } )
39	37, 38	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> m e. NN )
40		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> (Λ ` m ) e. RR )
42		dvdsdivcl 15038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( n / m ) e. { y e. NN | y || n } )
43	27, 42	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( n / m ) e. { y e. NN | y || n } )
44	37, 43	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( n / m ) e. NN )
45		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n / m ) e. NN -> (Λ ` ( n / m ) ) e. RR )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> (Λ ` ( n / m ) ) e. RR )
47	41, 46	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. RR )
48	36, 47	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. RR )
49		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
50	27, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
51	28	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
52	50, 51	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
53	48, 52	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
54	31, 53	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
55	24, 54	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
56	55	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
57	23, 56	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. CC )
58	20, 57	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. CC )
59	4	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
60		2cnd 11093	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
61	12	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
62		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
63	62	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 =/= 0 )
64	58, 59, 60, 61, 63	divdiv32d 10826	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / 2 ) / x ) )
65	58, 59, 61	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
66	65, 60, 63	divrecd 10804	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) x. ( 1 / 2 ) ) )
67	20, 57, 60, 63	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) / 2 ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / 2 ) ) )
68	18	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
69	68, 60, 63	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) / 2 ) = ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) )
70	21	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
71	21	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
72	60, 70, 56, 71	div32d 10824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / 2 ) )
74	55, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
75	74	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
76	75, 60, 63	divcan3d 10806	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / 2 ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
77	73, 76	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / 2 ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
78	69, 77	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) / 2 ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) / 2 ) ) = ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
79	67, 78	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / 2 ) = ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
80	79	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / 2 ) / x ) = ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) )
81	64, 66, 80	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) )
82	81	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) )
83	22, 55	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) e. RR )
84	19, 83	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) e. RR )
85	84, 12	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
86	7	rehalfcld 11279	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
87	31	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. CC )
88	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. CC )
89	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
90	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
91	89, 90	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
92	87, 88, 91	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
93	87, 89, 90	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
94	89, 87, 90	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
95	93, 94	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
97	92, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
98	97	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
99	87, 88	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) e. CC )
100	89, 87	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) e. CC )
101	100, 90	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
102	24, 99, 101	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
103	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. CC )
104	36, 87, 103	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) = sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) )
105	104	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) )
106		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( m x. k ) -> ( x / n ) = ( x / ( m x. k ) ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( m x. k ) -> ( R ` ( x / n ) ) = ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) )
108		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( m x. k ) -> ( n / m ) = ( ( m x. k ) / m ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( m x. k ) -> (Λ ` ( n / m ) ) = (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( m x. k ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) )
111	107, 110	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( m x. k ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) = ( ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) ) )
112	31	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( R ` ( x / n ) ) e. RR )
113	41	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
114	46	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) ) -> (Λ ` ( n / m ) ) e. RR )
115	113, 114	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) e. RR )
116	112, 115	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) e. RR )
117	116	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ m e. { y e. NN | y || n } ) ) -> ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) e. CC )
118	111, 4, 117	dvdsflsumcom 24914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) ) )
119	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> x e. CC )
120		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
121	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
122	121	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> m e. RR+ )
124	123	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> m e. CC )
125		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) -> k e. NN )
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> k e. NN )
127	126	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> k e. CC )
128	123	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> m =/= 0 )
129	126	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> k =/= 0 )
130	119, 124, 127, 128, 129	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( ( x / m ) / k ) = ( x / ( m x. k ) ) )
131	130	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( x / ( m x. k ) ) = ( ( x / m ) / k ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) = ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) )
133	127, 124, 128	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( ( m x. k ) / m ) = k )
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) = (Λ ` k ) )
135	134	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. (Λ ` k ) ) )
136	132, 135	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) ) = ( ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` k ) ) ) )
137	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> x e. RR+ )
138	137, 123	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( x / m ) e. RR+ )
139	126	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> k e. RR+ )
140	138, 139	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( ( x / m ) / k ) e. RR+ )
141	14	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x / m ) / k ) e. RR+ -> ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) e. RR )
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) e. RR )
143	142	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) e. CC )
144	121, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
145	144	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` m ) e. CC )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> (Λ ` m ) e. CC )
147		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. NN -> (Λ ` k ) e. RR )
148	126, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> (Λ ` k ) e. RR )
149	148	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> (Λ ` k ) e. CC )
150	146, 149	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. (Λ ` k ) ) e. CC )
151	143, 150	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` k ) ) ) = ( ( (Λ ` m ) x. (Λ ` k ) ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) )
152	146, 149, 143	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` m ) x. (Λ ` k ) ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) )
153	136, 151, 152	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) )
154	153	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) )
155		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) e. Fin )
156	148, 142	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) e. RR )
157	156	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) e. CC )
158	155, 145, 157	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) )
159	154, 158	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) )
160	159	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( ( R ` ( x / ( m x. k ) ) ) x. ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( ( m x. k ) / m ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) )
161	105, 118, 160	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
163	98, 102, 162	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
165	155, 156	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) e. RR )
166	144, 165	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) e. RR )
167	24, 166	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) e. RR )
168	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) e. CC )
169	50, 31	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) e. RR )
170	169, 51	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
171	24, 170	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
172	171	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
173	23, 168, 172	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
174	164, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
175	174	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) )
176	23, 168	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) e. CC )
177	22, 171	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
178	177	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
179	20, 176, 178	subsub3d 10422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) )
180	175, 179	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) )
181	68	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
182	181	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
183	68, 178, 68	add32d 10263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) = ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
184	182, 183	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) )
185	184	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) )
186	18, 177	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
187	186	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
188	187, 68, 176	addsubassd 10412	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) ) )
189	180, 185, 188	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) ) )
190	189	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) ) / x ) )
191	68, 176	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) e. CC )
192	187, 191, 59, 61	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) + ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) / x ) ) )
193	190, 192	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) = ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) / x ) ) )
194	193	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) / x ) ) ) )
195	186, 12	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) e. RR )
196	22, 167	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) e. RR )
197	18, 196	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) e. RR )
198	197, 12	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
199	13	selberg3r 25258	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1)
200	199	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1) )
201	13	selberg4r 25259	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) / x ) ) e. O(1)
202	201	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) / x ) ) e. O(1) )
203	195, 198, 200, 202	o1add2 14354	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) + ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( R ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / x ) + ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` k ) x. ( R ` ( ( x / m ) / k ) ) ) ) ) ) / x ) ) ) e. O(1) )
204	194, 203	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) ) e. O(1) )
205		ioossre 12235	. . . . 5 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
206		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. CC )
207	206	halfcld 11277	. . . . 5 |- ( T. -> ( 1 / 2 ) e. CC )
208		o1const 14350	. . . . 5 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / 2 ) ) e. O(1) )
209	205, 207, 208	sylancr 695	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / 2 ) ) e. O(1) )
210	85, 86, 204, 209	o1mul2 14355	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 x. ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) ) - ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) ) ) / x ) x. ( 1 / 2 ) ) ) e. O(1) )
211	82, 210	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. O(1) )
212	211	trud 1493	1 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( R ` x ) x. ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( R ` ( x / n ) ) x. ( sum_ m e. { y e. NN | y || n } ( (Λ ` m ) x. (Λ ` ( n / m ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( log ` n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) / x ) ) e. O(1)

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   || cdvds 14983   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem1  25266