Theorem vmadivsumb 25172

Description: Give a total bound on the von Mangoldt sum. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmadivsumb	|- E. c e. RR+ A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) <_ c

Distinct variable group:   n, c, x

Proof of Theorem vmadivsumb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
2		elicopnf 12269	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 1 <_ x ) ) )
4	3	simprbda 653	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> x e. RR )
5		1rp 11836	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
7	3	simplbda 654	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
8	4, 6, 7	rpgecld 11911	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
9	8	ex 450	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
10	9	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( T. -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ )
11		rpssre 11843	. . . 4 |- RR+ C_ RR
12	10, 11	syl6ss 3615	. . 3 |- ( T. -> ( 1 [,) +oo ) C_ RR )
13	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> 1 e. RR )
14		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
15		elfznn 12370	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
16	15	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
17		vmacl 24844	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
19	18, 16	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
20	14, 19	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
21	8	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
22	20, 21	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
23	22	recnd 10068	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
24		vmadivsum 25171	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
25	24	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
26	10, 25	o1res2 14294	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( 1 [,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
27		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) e. Fin )
28		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) -> n e. NN )
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> n e. NN )
30	29, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
31	30, 29	nndivred 11069	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
32	27, 31	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
33		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR )
34	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 e. RR+ )
35		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> 1 <_ y )
36	33, 34, 35	rpgecld 11911	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> y e. RR+ )
37	36	relogcld 24369	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
38	32, 37	readdcld 10069	. . 3 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` y ) ) e. RR )
39	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
41	40	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. RR )
42	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
43	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR+ )
44	43	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
45	42, 44	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` x ) ) e. RR )
46	38	ad2ant2r 783	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` y ) ) e. RR )
47	42	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
48	44	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
49	47, 48	abs2dif2d 14197	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) <_ ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) + ( abs ` ( log ` x ) ) ) )
50	16	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
51		vmage0 24847	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
52	16, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
53	18, 50, 52	divge0d 11912	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
54	14, 19, 53	fsumge0 14527	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
56	42, 55	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
57	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
58	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x e. RR )
59	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 1 <_ x )
60	58, 59	logge0d 24376	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
61	57, 60	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
62	56, 61	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) ) + ( abs ` ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` x ) ) )
63	49, 62	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` x ) ) )
64	32	ad2ant2r 783	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
65	36	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR+ )
66	65	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
67		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) e. Fin )
68	28	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> n e. NN )
69	68, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
70	69, 68	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
71	68	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> n e. RR+ )
72	68, 51	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
73	69, 71, 72	divge0d 11912	. . . . . 6 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
74		simprll 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR )
75		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x < y )
76	58, 74, 75	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> x <_ y )
77		flword2 12614	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> ( |_ ` y ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
78	58, 74, 76, 77	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( |_ ` y ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) )
79		fzss2 12381	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` y ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` y ) ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` y ) ) )
81	67, 70, 73, 80	fsumless 14528	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
82	74, 43, 76	rpgecld 11911	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> y e. RR+ )
83	43, 82	logled 24373	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( x <_ y <-> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) ) )
84	76, 83	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( log ` x ) <_ ( log ` y ) )
85	42, 44, 64, 66, 81, 84	le2addd 10646	. . . 4 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` y ) ) )
86	41, 45, 46, 63, 85	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 [,) +oo ) ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` n ) / n ) + ( log ` y ) ) )
87	12, 13, 23, 26, 38, 86	o1bddrp 14273	. 2 |- ( T. -> E. c e. RR+ A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) <_ c )
88	87	trud 1493	1 |- E. c e. RR+ A. x e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) <_ c

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   logclog 24301  Λcvma 24818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  2vmadivsum  25230