Theorem seqf1o 12842

Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on ( M ... N ). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf1o.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqf1o.2	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seqf1o.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seqf1o.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqf1o.5	|- ( ph -> C C_ S )
seqf1o.6	|- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
seqf1o.7	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
seqf1o.8	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seqf1o	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, z, F   k, G, x, y, z   k, M, x, y, z   .+ , k, x, y, z   k, N, x, y, z   ph, k, x, y, z   S, k, x, y, z   C, k, x, y, z   k, H

Allowed substitution hints:   H( x, y, z)

Proof of Theorem seqf1o

Dummy variables f g s t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf1o.6	. . 3 |- ( ph -> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) )
2		seqf1o.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( G ` x ) e. C )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) )
4	2, 3	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C )
5		seqf1o.4	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = M -> ( M ... x ) = ( M ... M ) )
7		f1oeq23 6130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... M ) /\ ( M ... x ) = ( M ... M ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
8	6, 6, 7	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) )
9	6	feq2d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... M ) --> C ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
13	11, 12	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
14	10, 13	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
15	14	2albidv 1851	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( M ... x ) = ( M ... k ) )
18		f1oeq23 6130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... k ) /\ ( M ... x ) = ( M ... k ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
19	17, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
20	17	feq2d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... k ) --> C ) )
21	19, 20	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) )
24	22, 23	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
25	21, 24	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = k -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
26	25	2albidv 1851	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) )
27	26	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) )
29		f1oeq23 6130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) /\ ( M ... x ) = ( M ... ( k + 1 ) ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
30	28, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) ) )
31	28	feq2d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) )
32	30, 31	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
35	33, 34	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) )
36	32, 35	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
37	36	2albidv 1851	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
38	37	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = N -> ( M ... x ) = ( M ... N ) )
40		f1oeq23 6130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ... x ) = ( M ... N ) /\ ( M ... x ) = ( M ... N ) ) -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
41	39, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) <-> f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
42	39	feq2d 6031	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( g : ( M ... x ) --> C <-> g : ( M ... N ) --> C ) )
43	41, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) <-> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = N -> ( seq M ( .+ , g ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) )
46	44, 45	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = N -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) <-> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
47	43, 46	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
48	47	2albidv 1851	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) <-> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
49	48	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... x ) -1-1-onto-> ( M ... x ) /\ g : ( M ... x ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` x ) = ( seq M ( .+ , g ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) ) )
50		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) )
52		elfz3 12351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( M ... M ) )
53		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
54	51, 52, 53	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` ( f ` M ) ) )
55		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( M ... M ) --> ( M ... M ) /\ M e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
56	50, 52, 55	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) e. ( M ... M ) )
57		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
58	57	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) <-> ( f ` M ) e. { M } ) )
59		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` M ) e. { M } -> ( f ` M ) = M )
60	58, 59	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( ( f ` M ) e. ( M ... M ) -> ( f ` M ) = M ) )
61	60	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f ` M ) e. ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
62	56, 61	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) ) -> ( f ` M ) = M )
63	62	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( f ` M ) = M )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( g ` ( f ` M ) ) = ( g ` M ) )
65	54, 64	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( ( g o. f ) ` M ) = ( g ` M ) )
66		seq1 12814	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( ( g o. f ) ` M ) )
68		seq1 12814	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` M ) = ( g ` M ) )
70	65, 67, 69	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) )
71	70	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
72	71	alrimivv 1856	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) )
73	72	a1d 25	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... M ) -1-1-onto-> ( M ... M ) /\ g : ( M ... M ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` M ) = ( seq M ( .+ , g ) ` M ) ) ) )
74		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = t -> ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) <-> t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) ) )
75		feq1 6026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = s -> ( g : ( M ... k ) --> C <-> s : ( M ... k ) --> C ) )
76	74, 75	bi2anan9r 918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) <-> ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) ) )
77		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = s -> ( g o. f ) = ( s o. f ) )
78		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = t -> ( s o. f ) = ( s o. t ) )
79	77, 78	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( g o. f ) = ( s o. t ) )
80	79	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( s o. t ) ) )
81	80	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) )
82		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> g = s )
83	82	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , s ) )
84	83	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) )
85	81, 84	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) <-> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
86	76, 85	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = s /\ f = t ) -> ( ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) ) )
87	86	cbval2v 2285	. . . . . . . . 9 |- ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) <-> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
88		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ph )
89		seqf1o.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
90	88, 89	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
91		seqf1o.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
92	88, 91	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
93		seqf1o.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
94	88, 93	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
95		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
96		seqf1o.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C C_ S )
97	88, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> C C_ S )
98		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) )
99		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C )
100		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) ) = ( w e. ( M ... k ) |-> ( f ` if ( w < ( `' f ` ( k + 1 ) ) , w , ( w + 1 ) ) ) )
101		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' f ` ( k + 1 ) ) = ( `' f ` ( k + 1 ) )
102		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) )
103	102, 87	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) )
104	90, 92, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103	seqf1olem2 12841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) /\ ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) )
105	104	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
106	87, 105	syl5bir 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
107	106	alrimdv 1857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
108	107	alrimdv 1857	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. s A. t ( ( t : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ s : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( s o. t ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , s ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
109	87, 108	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
110	109	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
111	110	a2d 29	. . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... k ) -1-1-onto-> ( M ... k ) /\ g : ( M ... k ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` k ) = ( seq M ( .+ , g ) ` k ) ) ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... ( k + 1 ) ) -1-1-onto-> ( M ... ( k + 1 ) ) /\ g : ( M ... ( k + 1 ) ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq M ( .+ , g ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
112	16, 27, 38, 49, 73, 111	uzind4 11746	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) ) )
113	5, 112	mpcom 38	. . . 4 |- ( ph -> A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) )
114		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( G ` x ) e. _V
115	114, 3	fnmpti 6022	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N )
116		fzfi 12771	. . . . . 6 |- ( M ... N ) e. Fin
117		fnfi 8238	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) Fn ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. Fin ) -> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin )
118	115, 116, 117	mp2an 708	. . . . 5 |- ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin
119		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
120	1, 119	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) )
121		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ... N ) e. _V )
122		fex2 7121	. . . . . 6 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ ( M ... N ) e. _V /\ ( M ... N ) e. _V ) -> F e. _V )
123	120, 121, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> F e. _V )
124		f1oeq1 6127	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) <-> F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) ) )
125		feq1 6026	. . . . . . . 8 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g : ( M ... N ) --> C <-> ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) )
126	124, 125	bi2anan9r 918	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) <-> ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) ) )
127		coeq1 5279	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) )
128		coeq2 5280	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
129	127, 128	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( g o. f ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) )
130	129	seqeq3d 12809	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , ( g o. f ) ) = seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) )
131	130	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) )
132		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) )
133	132	seqeq3d 12809	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> seq M ( .+ , g ) = seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) )
134	133	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( seq M ( .+ , g ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
135	131, 134	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) <-> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
136	126, 135	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( g = ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) /\ f = F ) -> ( ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) <-> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
137	136	spc2gv 3296	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) e. Fin /\ F e. _V ) -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
138	118, 123, 137	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( A. g A. f ( ( f : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ g : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( g o. f ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , g ) ` N ) ) -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) ) )
139	113, 138	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( ( F : ( M ... N ) -1-1-onto-> ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) : ( M ... N ) --> C ) -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) ) )
140	1, 4, 139	mp2and 715	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) )
141	120	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ( M ... N ) )
142		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` k ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
143		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( G ` ( F ` k ) ) e. _V
144	142, 3, 143	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( F ` k ) e. ( M ... N ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
145	141, 144	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
146		fvco3 6275	. . . . 5 |- ( ( F : ( M ... N ) --> ( M ... N ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
147	120, 146	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` ( F ` k ) ) )
148		seqf1o.8	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( H ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
149	145, 147, 148	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ` k ) = ( H ` k ) )
150	5, 149	seqfveq 12825	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) o. F ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
151		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = k -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
152		fvex 6201	. . . . 5 |- ( G ` k ) e. _V
153	151, 3, 152	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
154	153	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ` k ) = ( G ` k ) )
155	5, 154	seqfveq 12825	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , ( x e. ( M ... N ) |-> ( G ` x ) ) ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
156	140, 150, 155	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  summolem3  14445  prodmolem3  14663  eulerthlem2  15487  gsumval3eu  18305  gsumval3  18308