Theorem setsxms 22284

Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsms.m	|- ( ph -> M e. V )

Assertion

Ref	Expression
setsxms	|- ( ph -> ( K e. *MetSp <-> D e. ( *Met ` X ) ) )

Proof of Theorem setsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . . . 5 |- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
2		setsms.d	. . . . 5 |- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
3		setsms.k	. . . . 5 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
4		setsms.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. V )
5	1, 2, 3, 4	setsmstopn 22283	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( TopOpen ` K ) )
6	1, 2, 3	setsmsds 22281	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )
7	1, 2, 3	setsmsbas 22280	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = ( Base ` K ) )
8	7	sqxpeqd 5141	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X X. X ) = ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) )
9	6, 8	reseq12d 5397	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) = ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) )
10	2, 9	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> D = ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) ) )
12	5, 11	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` K ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) ) )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` K ) = ( TopOpen ` K )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
15		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) = ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) )
16	13, 14, 15	isxms2 22253	. . . 4 |- ( K e. *MetSp <-> ( ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` K ) ) /\ ( TopOpen ` K ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) ) ) )
17	16	rbaib 947	. . 3 |- ( ( TopOpen ` K ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) ) -> ( K e. *MetSp <-> ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` K ) ) ) )
18	12, 17	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( K e. *MetSp <-> ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` K ) ) ) )
19	7	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( *Met ` X ) = ( *Met ` ( Base ` K ) ) )
20	10, 19	eleq12d 2695	. 2 |- ( ph -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( ( dist ` K ) |` ( ( Base ` K ) X. ( Base ` K ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` K ) ) ) )
21	18, 20	bitr4d 271	1 |- ( ph -> ( K e. *MetSp <-> D e. ( *Met ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ndxcnx 15854   sSet csts 15855   Basecbs 15857  TopSetcts 15947   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   *MetSpcxme 22122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-tset 15960  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125

This theorem is referenced by:  setsms  22285