Theorem smonoord 41341

Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. Analogous to monoord 12831 (except that the case M = N must be excluded). Duplicate of monoords 39511? (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smonoord.0	|- ( ph -> M e. ZZ )
smonoord.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
smonoord.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
smonoord.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smonoord	|- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem smonoord

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smonoord.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzfz2 12349	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
4		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
6	5	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` x ) <-> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
7	4, 6	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
9		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( F ` M ) < ( F ` x ) <-> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) )
12	9, 11	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) <-> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) ) )
13	12	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) ) ) )
14		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
16	15	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` x ) <-> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
17	14, 16	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
19		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( F ` x ) = ( F ` N ) )
21	20	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( F ` M ) < ( F ` x ) <-> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
22	19, 21	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) <-> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) ) )
24		smonoord.0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
26	24, 1, 25	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzfz1 12348	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
29		smonoord.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
30	29	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( k + 1 ) = ( M + 1 ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
34	31, 33	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
35	34	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
36	28, 30, 35	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) )
37	36	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
38	37	a1i 11	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( M + 1 ) ) ) ) )
39		peano2fzr 12354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
40	39	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
41	40	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
42	41	imim1d 82	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) ) )
43		peano2uzr 11743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
45	44, 24	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ph -> n e. ( ZZ>= ` M ) ) )
47	46	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
48		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> n e. ZZ )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ZZ )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
51		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
52	51	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
53		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
55		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
56	47, 54, 55	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
57	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
61	58, 60	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) < ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
63	56, 57, 62	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) )
64		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
65	64	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> M <_ ( M + 1 ) )
66	24, 65	jccir 562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M e. ZZ /\ M <_ ( M + 1 ) ) )
67		eluzuzle 11696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ M <_ ( M + 1 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) ) )
68	66, 1, 67	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
69		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
71		smonoord.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
72	71	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
73	31	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
74	73	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` M ) e. RR ) )
75	70, 72, 74	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` M ) e. RR )
77		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ZZ -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
78	24, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( M ... N ) )
79	78	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
80	79	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( ph -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ph -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
82	81	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
83		peano2fzr 12354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
84	47, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
85	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
86	58	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
87	86	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` n ) e. RR ) )
88	84, 85, 87	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
91	90	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
92	82, 85, 91	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
93		lttr 10114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` n ) e. RR /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( F ` M ) < ( F ` n ) /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
94	76, 88, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( ( F ` M ) < ( F ` n ) /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
95	63, 94	mpan2d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` n ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
96	95	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` n ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
97	96	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
98	42, 97	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
99	98	expcom 451	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
100	99	a2d 29	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
101	8, 13, 18, 23, 38, 100	uzind4 11746	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) ) )
102	1, 101	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) ) )
103	3, 102	mpd 15	1 |- ( ph -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  iccpartiltu  41358  iccpartigtl  41359  iccpartgt  41363