Theorem monoord 12831

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, increasing case. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
monoord.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoord.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
monoord	|- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoord

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 12349	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
6	5	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) )
7	4, 6	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) ) )
9		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( F ` x ) = ( F ` n ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) )
12	9, 11	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) )
13	12	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) ) )
14		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
16	15	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
17	14, 16	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
19		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
20		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( F ` x ) = ( F ` N ) )
21	20	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) )
22	19, 21	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) )
23	22	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) ) )
24		eluzfz1 12348	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
25	1, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
26		monoord.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
27	26	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
30	29	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` M ) e. RR ) )
31	25, 27, 30	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
32	31	leidd 10594	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) )
33	32	a1d 25	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) )
34	33	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` M ) ) ) )
35		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
36		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
37		peano2fzr 12354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
39	38	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
40	39	imim1d 82	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) )
41		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
42	35, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
43		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
44	36, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
45		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) )
47		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
48	35, 46, 47	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... ( N - 1 ) ) )
49		monoord.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
50	49	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
53		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
55	52, 54	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
56	55	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
57	48, 51, 56	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
58	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` M ) e. RR )
59	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
60	52	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
61	60	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` n ) e. RR ) )
62	38, 59, 61	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
64	63	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
65	64	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
66	36, 59, 65	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
67		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` n ) e. RR /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
68	58, 62, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) /\ ( F ` n ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
69	57, 68	mpan2d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
70	69	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( F ` M ) <_ ( F ` n ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
71	70	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
72	40, 71	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
73	72	expcom 451	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
74	73	a2d 29	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
75	8, 13, 18, 23, 34, 74	uzind4 11746	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) ) )
76	1, 75	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) ) )
77	3, 76	mpd 15	1 |- ( ph -> ( F ` M ) <_ ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  monoord2  12832  sermono  12833  climub  14392  isercolllem1  14395  climsup  14400  dvfsumlem3  23791  emcllem7  24728  lmdvg  29999  monoords  39511  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem15  40339  fourierdlem50  40373  fourierdlem79  40402