smueqlem - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > smueqlem		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem smueqlem 15212

Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
smueq.a
smueq.b
smueq.n
smueq.p	sadd $/\$
smueq.q	sadd $/\$ ..^

**Assertion**
Ref	Expression
smueqlem	smul ..^ ..^ smul ..^ ..^

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem smueqlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smueq.a	. . . . . . . 8
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ ..^
3		smueq.b	. . . . . . . 8
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ ..^
5		smueq.p	. . . . . . 7 sadd $/\$
6		elfzouz 12474	. . . . . . . . 9 ..^
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
8		nn0uz 11722	. . . . . . . 8
9	7, 8	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 $/\$ ..^
10	9	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
11	10	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
12		smueq.n	. . . . . . . . . 10
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
14	13	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
15		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . 10 ..^
16	15	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
17		nn0ltp1le 11435	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	9, 13, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
19	16, 18	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
20		eluz2 11693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
21	11, 14, 19, 20	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 $/\$ ..^
22	2, 4, 5, 9, 21	smuval2 15204	. . . . . 6 $/\$ ..^ smul
23	12, 8	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11
24		eluzfz2b 12350	. . . . . . . . . . 11
25	23, 24	sylib 208	. . . . . . . . . 10
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
27	26	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
30	27, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^ ..^
31	30	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
35	34	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
36	33, 35	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^ ..^
37	36	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
42	39, 41	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^ ..^
43	42	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
47	46	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
48	45, 47	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^ ..^
49	48	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
50	1, 3, 5	smup0 15201	. . . . . . . . . . . . . 14
51		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
52	51, 3	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
53		smueq.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 sadd $/\$ ..^
54	1, 52, 53	smup0 15201	. . . . . . . . . . . . . 14
55	50, 54	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
58		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^
59	58	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^
60	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
61	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
62		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
64	60, 61, 5, 63	smupp1 15202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ sadd $/\$
65	64	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^
66	1, 3, 5	smupf 15200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
68	66, 62, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
69	68	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^
70		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$
72	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^
73	69, 71, 72	sadeq 15194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^
74	65, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^
75	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^ ..^
76	60, 75, 53, 63	smupp1 15202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ sadd $/\$ ..^
77	76	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^
78	1, 52, 53	smupf 15200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
80	78, 62, 79	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
81	80	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^
82		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ $/\$ ..^
84	81, 83, 72	sadeq 15194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ ..^
85		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
86	85	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
87	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ ..^ $/\$ ..^
88	87	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ ..^ $/\$ ..^
89		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ $/\$ $/\$
90	89	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ ..^ $/\$ ..^
92		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ ..^ $/\$ ..^
94	93	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ ..^ $/\$ ..^
95	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ ..^ $/\$ ..^
96	95	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ ..^ $/\$ ..^
97	94, 96	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ ..^ $/\$ ..^
98	91	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ ..^ $/\$ ..^
99	95	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ ..^ $/\$ ..^
100	94, 96	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ ..^ $/\$ ..^
101	99, 100	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ ..^ $/\$ ..^
102		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ ..^ $/\$ ..^
104	97, 94, 98, 101, 103	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ ..^ $/\$ ..^
105	91, 104	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
106		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ $/\$ $/\$
107		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	106, 107	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ $/\$ $/\$
109	108	baib 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ $/\$
110	105, 109	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
111	88, 110	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
112	111	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$
113		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ $/\$ $/\$ ..^
114		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ $/\$ ..^
115	113, 114	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ $/\$ ..^
116	112, 115	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^
117	116	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
118	86, 117	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
119	118	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$
120		inrab2 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^ ..^ ..^ $/\$ ..^
121		inrab2 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^ ..^ $/\$
122	119, 120, 121	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^
124	123	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^
125	77, 84, 124	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^
126	74, 125	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ..^ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^ ..^ sadd $/\$ ..^ ..^
127	59, 126	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
128	127	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
129	128	a2d 29	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
130	31, 37, 43, 49, 57, 129	fzind2 12586	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^
131	25, 130	mpcom 38	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
132	131	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ ..^ ..^
133	132	eleq2d 2687	. . . . . . 7 $/\$ ..^ ..^ ..^
134		elin 3796	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^
135	134	rbaib 947	. . . . . . . 8 ..^ ..^
136	135	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ ..^ ..^
137		elin 3796	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^
138	137	rbaib 947	. . . . . . . 8 ..^ ..^
139	138	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ ..^ ..^
140	133, 136, 139	3bitr3d 298	. . . . . 6 $/\$ ..^
141	52	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ ..^
142	2, 141, 53, 13	smupval 15210	. . . . . . 7 $/\$ ..^ ..^ smul ..^
143	142	eleq2d 2687	. . . . . 6 $/\$ ..^ ..^ smul ..^
144	22, 140, 143	3bitrd 294	. . . . 5 $/\$ ..^ smul ..^ smul ..^
145	144	ex 450	. . . 4 ..^ smul ..^ smul ..^
146	145	pm5.32rd 672	. . 3 smul $/\$ ..^ ..^ smul ..^ $/\$ ..^
147		elin 3796	. . 3 smul ..^ smul $/\$ ..^
148		elin 3796	. . 3 ..^ smul ..^ ..^ ..^ smul ..^ $/\$ ..^
149	146, 147, 148	3bitr4g 303	. 2 smul ..^ ..^ smul ..^ ..^
150	149	eqrdv 2620	1 smul ..^ ..^ smul ..^ ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

crab 2916

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cseq 12801 sadd csad 15142 smul csmu 15143

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-xor 1465 df-tru 1486 df-fal 1489 df-had 1533 df-cad 1546 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-bits 15144 df-sad 15173 df-smu 15198

This theorem is referenced by: smueq 15213

W3C validator