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Theorem cnllycmp 22755
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp |- J e. 𝑛Locally Comp
Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables s r u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
21cnfldtop 22587 . 2 |- J e. Top
3 cnxmet 22576 . . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41cnfldtopn 22585 . . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54mopni2 22298 . . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
63, 5mp3an1 1411 . . . 4 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
72a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> J e. Top )
83a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
9 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
109ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ U. J )
111cnfldtopon 22586 . . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
1211toponunii 20721 . . . . . . . . . . 11 |- CC = U. J
1310, 12syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ CC )
14 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. x )
1513, 14sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. CC )
16 rphalfcl 11858 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1716ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1817rpxrd 11873 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
194blopn 22305 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
208, 15, 18, 19syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
21 blcntr 22218 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
23 opnneip 20923 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J /\ y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
25 blssm 22223 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
2712sscls 20860 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
29 rpxr 11840 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
3029ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> r e. RR* )
31 rphalflt 11860 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) < r )
3231ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) < r )
334blsscls 22312 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( r / 2 ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( r / 2 ) < r ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1333 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
35 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
3634, 35sstrd 3613 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
3736, 13sstrd 3613 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC )
3812ssnei2 20920 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) /\ ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1327 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
40 vex 3203 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4140elpw2 4828 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x <-> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
4236, 41sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x )
4339, 42elind 3798 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
4412clscld 20851 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
457, 26, 44syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
4615abscld 14175 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs ` y ) e. RR )
4717rpred 11872 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR )
4846, 47readdcld 10069 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR )
49 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } = { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) }
504, 49blcls 22311 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
518, 15, 18, 50syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
52 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
5315adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> y e. CC )
5452, 53abs2difd 14196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
5552abscld 14175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` z ) e. RR )
5646adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` y ) e. RR )
5755, 56resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR )
5852, 53subcld 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( z - y ) e. CC )
5958abscld 14175 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) e. RR )
6047adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( r / 2 ) e. RR )
61 letr 10131 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR /\ ( abs ` ( z - y ) ) e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6354, 62mpand 711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6452, 53abssubd 14192 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
65 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
6665cnmetdval 22574 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6715, 66sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6864, 67eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
6968breq1d 4663 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7055, 56, 60lesubadd2d 10626 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7163, 69, 703imtr3d 282 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7271ralrimiva 2966 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
73 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( y ( abs o. - ) w ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
7473breq1d 4663 . . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7574ralrab 3368 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) <-> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7672, 75sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
77 ssralv 3666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } -> ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7851, 76, 77sylc 65 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
79 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) <_ s <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8079ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s <-> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8180rspcev 3309 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR /\ A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
8248, 78, 81syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
83 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
841, 83cnheibor 22754 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8537, 84syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8645, 82, 85mpbir2and 957 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp )
87 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( J ↾t u ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) )
8887eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) e. Comp <-> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) )
8988rspcev 3309 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9043, 86, 89syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
916, 90rexlimddv 3035 . . 3 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9291rgen2 2975 . 2 |- A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp
93 isnlly 21272 . 2 |- ( J e. 𝑛Locally Comp <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp ) )
942, 92, 93mpbir2an 955 1 |- J e. 𝑛Locally Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   ↾t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂfldccnfld 19746   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   neicnei 20901   Compccmp 21189  𝑛Locally cnlly 21268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681
This theorem is referenced by:  rellycmp  22756
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