Theorem subfacp1lem3 31164

Description: Lemma for subfacp1 31168. In subfacp1lem6 31167 we cut up the set of all derangements on 1 ... ( N + 1 ) first according to the value at 1, and then by whether or not ( f ` ( f ` 1 ) ) = 1. In this lemma, we show that the subset of all N + 1 derangements that satisfy this for fixed M = ( f ` 1 ) is in bijection with N - 1 derangements, by simply dropping the x = 1 and x = M points from the function to get a derangement on K = ( 1 ... ( N - 1 ) ) \ { 1 , M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	|- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
subfac.n	|- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a	|- A = { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) }
subfacp1lem1.n	|- ( ph -> N e. NN )
subfacp1lem1.m	|- ( ph -> M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) )
subfacp1lem1.x	|- M e. _V
subfacp1lem1.k	|- K = ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } )
subfacp1lem3.b	|- B = { g e. A | ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) }
subfacp1lem3.c	|- C = { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) }

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem3	|- ( ph -> ( # ` B ) = ( S ` ( N - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, n, x, y, A   f, N, g, n, x, y   B, f, g, x, y   x, C, y   ph, x, y   D, n   f, K, n, x, y   f, M, g, x, y   S, n, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g, n)   B( n)   C( f, g, n)   D( x, y, f, g)   S( f, g)   K( g)   M( n)

Proof of Theorem subfacp1lem3

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subfacp1lem.a	. . . . . . . 8 |- A = { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) }
2		fzfi 12771	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin
3		deranglem 31148	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin -> { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- { f | ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin
5	1, 4	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- A e. Fin
6		subfacp1lem3.b	. . . . . . . 8 |- B = { g e. A | ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) }
7		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { g e. A | ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) } C_ A
8	6, 7	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- B C_ A
9		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
10	5, 8, 9	mp2an 708	. . . . . 6 |- B e. Fin
11	10	elexi 3213	. . . . 5 |- B e. _V
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
13		subfacp1lem3.c	. . . . . . 7 |- C = { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) }
14		subfacp1lem1.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } )
15		fzfi 12771	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ... ( N + 1 ) ) e. Fin
16		diffi 8192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) e. Fin -> ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } ) e. Fin )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ... ( N + 1 ) ) \ { M } ) e. Fin
18	14, 17	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- K e. Fin
19		deranglem 31148	. . . . . . . 8 |- ( K e. Fin -> { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } e. Fin
21	13, 20	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- C e. Fin
22	21	elexi 3213	. . . . 5 |- C e. _V
23	22	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> C e. _V )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. B )
25		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = b -> ( g ` 1 ) = ( b ` 1 ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = b -> ( ( g ` 1 ) = M <-> ( b ` 1 ) = M ) )
27		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = b -> ( g ` M ) = ( b ` M ) )
28	27	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = b -> ( ( g ` M ) = 1 <-> ( b ` M ) = 1 ) )
29	26, 28	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = b -> ( ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) <-> ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) ) )
30	29, 6	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. B <-> ( b e. A /\ ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) ) )
31	24, 30	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b e. A /\ ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) ) )
32	31	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. A )
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- b e. _V
34		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = b -> ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
35		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = b -> ( f ` y ) = ( b ` y ) )
36	35	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = b -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( b ` y ) =/= y ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = b -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) )
38	34, 37	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = b -> ( ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) <-> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) ) )
39	33, 38, 1	elab2 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. A <-> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) )
40	32, 39	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y ) )
41	40	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
42		f1of1 6136	. . . . . . . . 9 |- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
43		df-f1 5893	. . . . . . . . . 10 |- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ Fun `' b ) )
44	43	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> Fun `' b )
45	41, 42, 44	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> Fun `' b )
46		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
47	41, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
48		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . 11 |- ( b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) = b )
49		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) = b -> ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> b : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
51	41, 50	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
52		f1ofo 6144	. . . . . . . . 9 |- ( ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
54		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 1 , M } C_ ( K u. { 1 , M } )
55		derang.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D = ( x e. Fin |-> ( # ` { f | ( f : x -1-1-onto-> x /\ A. y e. x ( f ` y ) =/= y ) } ) )
56		subfac.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( n e. NN0 |-> ( D ` ( 1 ... n ) ) )
57		subfacp1lem1.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. NN )
58		subfacp1lem1.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) )
59		subfacp1lem1.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M e. _V
60	55, 56, 1, 57, 58, 59, 14	subfacp1lem1 31161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( K i^i { 1 , M } ) = (/) /\ ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( # ` K ) = ( N - 1 ) ) )
61	60	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
62	54, 61	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { 1 , M } C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> { 1 , M } C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
64		fnssres 6004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ { 1 , M } C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( b |` { 1 , M } ) Fn { 1 , M } )
65	47, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` { 1 , M } ) Fn { 1 , M } )
66	31	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( b ` 1 ) = M /\ ( b ` M ) = 1 ) )
67	66	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` 1 ) = M )
68	59	prid2 4298	. . . . . . . . . . . . 13 |- M e. { 1 , M }
69	67, 68	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` 1 ) e. { 1 , M } )
70	66	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` M ) = 1 )
71		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. _V
72	71	prid1 4297	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. { 1 , M }
73	70, 72	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b ` M ) e. { 1 , M } )
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1 -> ( b ` x ) = ( b ` 1 ) )
75	74	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( ( b ` x ) e. { 1 , M } <-> ( b ` 1 ) e. { 1 , M } ) )
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = M -> ( b ` x ) = ( b ` M ) )
77	76	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = M -> ( ( b ` x ) e. { 1 , M } <-> ( b ` M ) e. { 1 , M } ) )
78	71, 59, 75, 77	ralpr 4238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. { 1 , M } ( b ` x ) e. { 1 , M } <-> ( ( b ` 1 ) e. { 1 , M } /\ ( b ` M ) e. { 1 , M } ) )
79	69, 73, 78	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } ( b ` x ) e. { 1 , M } )
80		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { 1 , M } -> ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) = ( b ` x ) )
81	80	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { 1 , M } -> ( ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } <-> ( b ` x ) e. { 1 , M } ) )
82	81	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { 1 , M } ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } <-> A. x e. { 1 , M } ( b ` x ) e. { 1 , M } )
83	79, 82	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } )
84		ffnfv 6388	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } --> { 1 , M } <-> ( ( b |` { 1 , M } ) Fn { 1 , M } /\ A. x e. { 1 , M } ( ( b |` { 1 , M } ) ` x ) e. { 1 , M } ) )
85	65, 83, 84	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } --> { 1 , M } )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = M -> ( b ` y ) = ( b ` M ) )
87	86	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = M -> ( ( b ` y ) = 1 <-> ( b ` M ) = 1 ) )
88	87	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. { 1 , M } /\ ( b ` M ) = 1 ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 )
89	68, 70, 88	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 )
90		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = 1 -> ( b ` y ) = ( b ` 1 ) )
91	90	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = 1 -> ( ( b ` y ) = M <-> ( b ` 1 ) = M ) )
92	91	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. { 1 , M } /\ ( b ` 1 ) = M ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M )
93	72, 67, 92	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M )
94		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( ( b ` y ) = x <-> ( b ` y ) = 1 ) )
95	94	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x <-> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 ) )
96		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = M -> ( ( b ` y ) = x <-> ( b ` y ) = M ) )
97	96	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = M -> ( E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x <-> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M ) )
98	71, 59, 95, 97	ralpr 4238	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x <-> ( E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = 1 /\ E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = M ) )
99	89, 93, 98	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x )
100		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) = x )
101		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. { 1 , M } -> ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) = ( b ` y ) )
102	101	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { 1 , M } -> ( ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) = x <-> ( b ` y ) = x ) )
103	100, 102	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. { 1 , M } -> ( x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> ( b ` y ) = x ) )
104	103	rexbiia 3040	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x )
105	104	ralbii 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) <-> A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = x )
106	99, 105	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) )
107		dffo3 6374	. . . . . . . . 9 |- ( ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } -onto-> { 1 , M } <-> ( ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } --> { 1 , M } /\ A. x e. { 1 , M } E. y e. { 1 , M } x = ( ( b |` { 1 , M } ) ` y ) ) )
108	85, 106, 107	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } -onto-> { 1 , M } )
109		resdif 6157	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `' b /\ ( b |` ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( b |` { 1 , M } ) : { 1 , M } -onto-> { 1 , M } ) -> ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) )
110	45, 53, 108, 109	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) )
111		uncom 3757	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 1 , M } u. K ) = ( K u. { 1 , M } )
112	111, 61	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { 1 , M } u. K ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
113		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { 1 , M } i^i K ) = ( K i^i { 1 , M } )
114	60	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K i^i { 1 , M } ) = (/) )
115	113, 114	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( { 1 , M } i^i K ) = (/) )
116		uneqdifeq 4057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { 1 , M } C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( { 1 , M } i^i K ) = (/) ) -> ( ( { 1 , M } u. K ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K ) )
117	62, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( { 1 , M } u. K ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K ) )
118	112, 117	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K )
119	118	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K )
120		reseq2 5391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) = ( b |` K ) )
121		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) = ( b |` K ) -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) )
123		f1oeq2 6128	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` K ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) )
124		f1oeq3 6129	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` K ) : K -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) )
125	122, 123, 124	3bitrd 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) = K -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) )
126	119, 125	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( ( b |` ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) ) : ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) -1-1-onto-> ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) \ { 1 , M } ) <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) )
127	110, 126	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K )
128		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- K C_ ( K u. { 1 , M } )
129	128, 61	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
131	40	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y )
132		ssralv 3666	. . . . . . 7 |- ( K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) =/= y -> A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) )
133	130, 131, 132	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> A. y e. K ( b ` y ) =/= y )
134	33	resex 5443	. . . . . . 7 |- ( b |` K ) e. _V
135		f1oeq1 6127	. . . . . . . 8 |- ( f = ( b |` K ) -> ( f : K -1-1-onto-> K <-> ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K ) )
136		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( b |` K ) -> ( f ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) )
137		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. K -> ( ( b |` K ) ` y ) = ( b ` y ) )
138	136, 137	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = ( b |` K ) /\ y e. K ) -> ( f ` y ) = ( b ` y ) )
139	138	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = ( b |` K ) /\ y e. K ) -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( b ` y ) =/= y ) )
140	139	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( f = ( b |` K ) -> ( A. y e. K ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) )
141	135, 140	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( f = ( b |` K ) -> ( ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) <-> ( ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) ) )
142	134, 141, 13	elab2 3354	. . . . . 6 |- ( ( b |` K ) e. C <-> ( ( b |` K ) : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( b ` y ) =/= y ) )
143	127, 133, 142	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> ( b |` K ) e. C )
144	143	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( b e. B -> ( b |` K ) e. C ) )
145	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> N e. NN )
146	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) )
147		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } )
148		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> c e. C )
149		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- c e. _V
150		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = c -> ( f : K -1-1-onto-> K <-> c : K -1-1-onto-> K ) )
151		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = c -> ( f ` y ) = ( c ` y ) )
152	151	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = c -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( c ` y ) =/= y ) )
153	152	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = c -> ( A. y e. K ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) )
154	150, 153	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = c -> ( ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) <-> ( c : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) ) )
155	149, 154, 13	elab2 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. C <-> ( c : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) )
156	148, 155	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( c ` y ) =/= y ) )
157	156	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> c : K -1-1-onto-> K )
158	55, 56, 1, 145, 146, 59, 14, 147, 157	subfacp1lem2a 31162	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) )
159	158	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
160	55, 56, 1, 145, 146, 59, 14, 147, 157	subfacp1lem2b 31163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) = ( c ` y ) )
161	156	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. K ( c ` y ) =/= y )
162	161	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( c ` y ) =/= y )
163	160, 162	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y )
164	163	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. K ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y )
165	158	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M )
166		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 2 ... ( N + 1 ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
167		eluz2b3 11762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( M e. NN /\ M =/= 1 ) )
168	167	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M =/= 1 )
169	58, 166, 168	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M =/= 1 )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> M =/= 1 )
171	165, 170	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) =/= 1 )
172	158	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 )
173	170	necomd 2849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> 1 =/= M )
174	172, 173	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) =/= M )
175		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = 1 -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) )
176		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = 1 -> y = 1 )
177	175, 176	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 1 -> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) =/= 1 ) )
178		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = M -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) )
179		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = M -> y = M )
180	178, 179	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = M -> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) =/= M ) )
181	71, 59, 177, 180	ralpr 4238	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. { 1 , M } ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) =/= 1 /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) =/= M ) )
182	171, 174, 181	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. { 1 , M } ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y )
183		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> ( A. y e. K ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y /\ A. y e. { 1 , M } ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) )
184	164, 182, 183	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y )
185	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
186	185	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) )
187	184, 186	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y )
188		prex 4909	. . . . . . . . 9 |- { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } e. _V
189	149, 188	unex 6956	. . . . . . . 8 |- ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. _V
190		f1oeq1 6127	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
191		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( f ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) )
192	191	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( f ` y ) =/= y <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) )
193	192	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) )
194	190, 193	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( f = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( f : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( f ` y ) =/= y ) <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) ) )
195	189, 194, 1	elab2 3354	. . . . . . 7 |- ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. A <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) =/= y ) )
196	159, 187, 195	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. A )
197	165, 172	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) )
198		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( g ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) )
199	198	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( g ` 1 ) = M <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M ) )
200		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( g ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) )
201	200	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( g ` M ) = 1 <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) )
202	199, 201	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( g = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) -> ( ( ( g ` 1 ) = M /\ ( g ` M ) = 1 ) <-> ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) ) )
203	202, 6	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. B <-> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. A /\ ( ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M /\ ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 ) ) )
204	196, 197, 203	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. B )
205	204	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( c e. C -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) e. B ) )
206	67	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` 1 ) = M )
207	165	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) = M )
208	206, 207	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) )
209	70	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` M ) = 1 )
210	172	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) = 1 )
211	209, 210	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) )
212	90, 175	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = 1 -> ( ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( b ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) ) )
213	86, 178	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = M -> ( ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( b ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) ) )
214	71, 59, 212, 213	ralpr 4238	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( ( b ` 1 ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` 1 ) /\ ( b ` M ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` M ) ) )
215	208, 211, 214	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) )
216	215	biantrud 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) /\ A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) ) )
217		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) /\ A. y e. { 1 , M } ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) )
218	216, 217	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) )
219	160	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. C ) /\ y e. K ) -> ( ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> ( b ` y ) = ( c ` y ) ) )
220	219	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. C ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) ) )
221	220	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. K ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) ) )
222	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( K u. { 1 , M } ) = ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
223	222	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. ( K u. { 1 , M } ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) )
224	218, 221, 223	3bitr3rd 299	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) ) )
225	137	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( y e. K -> ( ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) <-> ( c ` y ) = ( b ` y ) ) )
226		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( c ` y ) = ( b ` y ) <-> ( b ` y ) = ( c ` y ) )
227	225, 226	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( y e. K -> ( ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) <-> ( b ` y ) = ( c ` y ) ) )
228	227	ralbiia 2979	. . . . . . 7 |- ( A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) <-> A. y e. K ( b ` y ) = ( c ` y ) )
229	224, 228	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) <-> A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) ) )
230	47	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
231	159	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
232		f1ofn 6138	. . . . . . . 8 |- ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
233	231, 232	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
234		eqfnfv 6311	. . . . . . 7 |- ( ( b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( b = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) )
235	230, 233, 234	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) <-> A. y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( b ` y ) = ( ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) ` y ) ) )
236	157	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> c : K -1-1-onto-> K )
237		f1ofn 6138	. . . . . . . 8 |- ( c : K -1-1-onto-> K -> c Fn K )
238	236, 237	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> c Fn K )
239	129	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
240		fnssres 6004	. . . . . . . 8 |- ( ( b Fn ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ K C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( b |` K ) Fn K )
241	230, 239, 240	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b |` K ) Fn K )
242		eqfnfv 6311	. . . . . . 7 |- ( ( c Fn K /\ ( b |` K ) Fn K ) -> ( c = ( b |` K ) <-> A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) ) )
243	238, 241, 242	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( c = ( b |` K ) <-> A. y e. K ( c ` y ) = ( ( b |` K ) ` y ) ) )
244	229, 235, 243	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. B /\ c e. C ) ) -> ( b = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) <-> c = ( b |` K ) ) )
245	244	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( b e. B /\ c e. C ) -> ( b = ( c u. { <. 1 , M >. , <. M , 1 >. } ) <-> c = ( b |` K ) ) ) )
246	12, 23, 144, 205, 245	en3d 7992	. . 3 |- ( ph -> B ~~ C )
247		hashen 13135	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ C e. Fin ) -> ( ( # ` B ) = ( # ` C ) <-> B ~~ C ) )
248	10, 21, 247	mp2an 708	. . 3 |- ( ( # ` B ) = ( # ` C ) <-> B ~~ C )
249	246, 248	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( # ` C ) )
250	13	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( # ` C ) = ( # ` { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } )
251	55	derangval 31149	. . . . 5 |- ( K e. Fin -> ( D ` K ) = ( # ` { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } ) )
252	18, 251	ax-mp 5	. . . 4 |- ( D ` K ) = ( # ` { f | ( f : K -1-1-onto-> K /\ A. y e. K ( f ` y ) =/= y ) } )
253	55, 56	derangen2 31156	. . . . 5 |- ( K e. Fin -> ( D ` K ) = ( S ` ( # ` K ) ) )
254	18, 253	ax-mp 5	. . . 4 |- ( D ` K ) = ( S ` ( # ` K ) )
255	250, 252, 254	3eqtr2ri 2651	. . 3 |- ( S ` ( # ` K ) ) = ( # ` C )
256	60	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` K ) = ( N - 1 ) )
257	256	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( S ` ( # ` K ) ) = ( S ` ( N - 1 ) ) )
258	255, 257	syl5eqr 2670	. 2 |- ( ph -> ( # ` C ) = ( S ` ( N - 1 ) ) )
259	249, 258	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( S ` ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  subfacp1lem6  31167