subfacp1lem6 - Mathbox for Mario Carneiro

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Theorem subfacp1lem6 31167

Description: Lemma for subfacp1 31168. By induction, we cut up the set of all derangements on

according to the

possible values of

(since

), and for each set for fixed

, the subset of derangements with

has size

(by subfacp1lem3 31164), while the subset with

has size

(by subfacp1lem5 31166). Adding it all up yields the desired equation

for the number of derangements on

. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
derang.d	$/\$
subfac.n
subfacp1lem.a	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
subfacp1lem6

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem subfacp1lem6 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 11032	. . . . 5
2	1	nnnn0d 11351	. . . 4
3		derang.d	. . . . 5 $/\$
4		subfac.n	. . . . 5
5	3, 4	subfacval 31155	. . . 4
6	2, 5	syl 17	. . 3
7		fzfid 12772	. . . . 5
8	3	derangval 31149	. . . . 5 $/\$
9	7, 8	syl 17	. . . 4 $/\$
10		subfacp1lem.a	. . . . 5 $/\$
11	10	fveq2i 6194	. . . 4 $/\$
12	9, 11	syl6eqr 2674	. . 3
13		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11
14	1, 13	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10
15		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . 10
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9
17		f1of 6137	. . . . . . . . . 10
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
19		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 $/\$
20	19	expcom 451	. . . . . . . . 9
21	16, 18, 20	syl2im 40	. . . . . . . 8 $/\$
22	21	ss2abdv 3675	. . . . . . 7 $/\$
23		fveq1 6190	. . . . . . . . 9
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . 8
25	24	cbvabv 2747	. . . . . . 7
26	22, 10, 25	3sstr4g 3646	. . . . . 6
27		ssabral 3673	. . . . . 6
28	26, 27	sylib 208	. . . . 5
29		rabid2 3118	. . . . 5
30	28, 29	sylibr 224	. . . 4
31	30	fveq2d 6195	. . 3
32	6, 12, 31	3eqtrd 2660	. 2
33		elfz1end 12371	. . . 4
34	1, 33	sylib 208	. . 3
35		eleq1 2689	. . . . . . 7
36		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
37		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14
38		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . 14
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
40	36, 39	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
42		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
43	42	elsn 4192	. . . . . . . . . . 11
44	41, 43	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10
45	44	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
47		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
48		1m1e0 11089	. . . . . . . . . 10
49	47, 48	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
51	46, 50	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
52	35, 51	imbi12d 334	. . . . . 6
53	52	imbi2d 330	. . . . 5
54		eleq1 2689	. . . . . . 7
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
56	55	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
57	56	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
59		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
61	58, 60	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
62	54, 61	imbi12d 334	. . . . . 6
63	62	imbi2d 330	. . . . 5
64		eleq1 2689	. . . . . . 7
65		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
66	65	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
67	66	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
69		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
71	68, 70	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
72	64, 71	imbi12d 334	. . . . . 6
73	72	imbi2d 330	. . . . 5
74		eleq1 2689	. . . . . . 7
75		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
76	75	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
77	76	rabbidv 3189	. . . . . . . . 9
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
79		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
80	79	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
81	78, 80	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
82	74, 81	imbi12d 334	. . . . . 6
83	82	imbi2d 330	. . . . 5
84		hash0 13158	. . . . . . 7
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16
87	85, 86	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14
89	16, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
90	89	adantld 483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
91	90	ss2abdv 3675	. . . . . . . . . . 11 $/\$
92		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . 13
93	23	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . 13
94	92, 93	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . 12
95	94	cbvabv 2747	. . . . . . . . . . 11
96	91, 10, 95	3sstr4g 3646	. . . . . . . . . 10
97		ssabral 3673	. . . . . . . . . 10
98	96, 97	sylib 208	. . . . . . . . 9
99		rabeq0 3957	. . . . . . . . 9
100	98, 99	sylibr 224	. . . . . . . 8
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . 7
102		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11
103	3, 4	subfacf 31157	. . . . . . . . . . . 12
104	103	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11
105	102, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10
106		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11
107	103	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . 11
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10
109	105, 108	nn0addcld 11355	. . . . . . . . 9
110	109	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8
111	110	mul02d 10234	. . . . . . 7
112	84, 101, 111	3eqtr4a 2682	. . . . . 6
113	112	a1d 25	. . . . 5
114		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
115	114, 13	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
116		peano2fzr 12354	. . . . . . . . . . 11 $/\$
117	115, 116	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
118	117	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$
119	118	imim1d 82	. . . . . . . 8 $/\$
120		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
121		elfzp1 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$
122	115, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$
123	122	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\/$
124		unrab 3898	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
125	123, 124	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
127		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128		deranglem 31148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
129	127, 128	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
130	10, 129	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15
131		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15
132		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
133	130, 131, 132	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14
134		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15
135		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
136	130, 134, 135	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14
137		inrab 3899	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
138		fzp1disj 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139	42	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
141	139, 140	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
142	141	necon2bi 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
143	138, 142	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
144	143	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
145		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
146	144, 145	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
147	137, 146	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
148		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
149	133, 136, 147, 148	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
150	126, 149	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
151		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16
152	151	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
153		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
155	152, 154, 154	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
157		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	152, 153, 157	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
159	109	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
160	159	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
161	158, 154, 160	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
162	160	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
163		exmidne 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\/$
164		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\/$ $\/$
165	163, 164	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\/$
166	165	biantru 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\/$
167		andi 911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
168	166, 167	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\/$ $/\$
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$ $/\$
170	169	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$ $/\$
171		unrab 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
172	170, 171	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
173	172	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
174		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
175		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
176	130, 174, 175	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
177		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
178		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
179	130, 177, 178	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
180		inrab 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
182	181	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
183	182	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
184		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	183, 184	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
186	185	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
187		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	186, 187	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
189	180, 188	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
190		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	176, 179, 189, 190	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	173, 191	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
193		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
194		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
195		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
196	195	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
197		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
198		addcan2 10221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
199	197, 153, 198	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
200	151, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
201	196, 200	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
202	201	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
203	194, 202	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
204	203	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
205	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
206		elfzp12 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\/$
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\/$
208	207	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\/$
209	208	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
210	204, 209	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
211		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
212	211	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
213	210, 212	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
214		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
215		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
216		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
217	216	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
218		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
219	218	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
220	217, 219	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
221	220	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
222		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
223		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
224		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
225		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
226	224, 225	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
227	226	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
228		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
229	228	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
230	229	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
231	227, 230	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
232	223, 231	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
233	232	cbvabv 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
234	3, 4, 10, 193, 213, 214, 215, 221, 222, 233	subfacp1lem5 31166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
235	218	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
236	217, 235	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
237	236	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
238		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$ $\$ $\$
239	226	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $\$
240	229	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $\$
241	239, 240	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$
242	238, 241	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$
243	242	cbvabv 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$
244	3, 4, 10, 193, 213, 214, 215, 237, 243	subfacp1lem3 31164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
245	234, 244	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
246	192, 245	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
247	162, 246	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
248	247	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
249	156, 161, 248	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
250	150, 249	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
251	120, 250	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
252	251	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$
253	252	a2d 29	. . . . . . . 8 $/\$
254	119, 253	syld 47	. . . . . . 7 $/\$
255	254	expcom 451	. . . . . 6
256	255	a2d 29	. . . . 5
257	53, 63, 73, 83, 113, 256	nnind 11038	. . . 4
258	1, 257	mpcom 38	. . 3
259	34, 258	mpd 15	. 2
260		nncn 11028	. . . 4
261		pncan 10287	. . . 4 $/\$
262	260, 153, 261	sylancl 694	. . 3
263	262	oveq1d 6665	. 2
264	32, 259, 263	3eqtrd 2660	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

crab 2916 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cpr 4179

cop 4183

cmpt 4729

cid 5023

cres 5116

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

chash 13117

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-hash 13118

This theorem is referenced by: subfacp1 31168

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