Theorem sylow1lem4 18016

Description: Lemma for sylow1 18018. The stabilizer subgroup of any element of S is at most P ^ N in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	|- X = ( Base ` G )
sylow1.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow1.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow1.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sylow1.d	|- ( ph -> ( P ^ N ) || ( # ` X ) )
sylow1lem.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow1lem.s	|- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
sylow1lem.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
sylow1lem3.1	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ S /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
sylow1lem4.b	|- ( ph -> B e. S )
sylow1lem4.h	|- H = { u e. X | ( u .(+) B ) = B }

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem4	|- ( ph -> ( # ` H ) <_ ( P ^ N ) )

Distinct variable groups:   g, s, u, x, y, z, B   g, H, x, y   S, g, u, x, y, z   g, N, s, u, x, y, z   g, X, s, u, x, y, z   .+ , s, u, x, y, z   z, .~   .(+) , g, u, x, y, z   g, G, s, u, x, y, z   P, g, s, u, x, y, z   ph, u, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( g, s)   .+ ( g)   .(+) ( s)   .~ ( x, y, u, g, s)   S( s)   H( z, u, s)

Proof of Theorem sylow1lem4

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1lem4.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. S )
2		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = B -> ( # ` s ) = ( # ` B ) )
3	2	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = B -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` B ) = ( P ^ N ) ) )
4		sylow1lem.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
5	3, 4	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. S <-> ( B e. ~P X /\ ( # ` B ) = ( P ^ N ) ) )
6	1, 5	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B e. ~P X /\ ( # ` B ) = ( P ^ N ) ) )
7	6	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( P ^ N ) )
8		sylow1.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Prime )
9		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. NN )
11		sylow1.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
12	10, 11	nnexpcld 13030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ^ N ) e. NN )
13	7, 12	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN )
14	13	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` B ) =/= 0 )
15		hasheq0 13154	. . . . . . . 8 |- ( B e. S -> ( ( # ` B ) = 0 <-> B = (/) ) )
16	15	necon3bid 2838	. . . . . . 7 |- ( B e. S -> ( ( # ` B ) =/= 0 <-> B =/= (/) ) )
17	1, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( # ` B ) =/= 0 <-> B =/= (/) ) )
18	14, 17	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> B =/= (/) )
19		n0 3931	. . . . 5 |- ( B =/= (/) <-> E. a a e. B )
20	18, 19	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> E. a a e. B )
21	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> B e. S )
22		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> a e. B )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = a -> ( b .+ z ) = ( b .+ a ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) = ( z e. B |-> ( b .+ z ) )
25		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b .+ a ) e. _V
26	23, 24, 25	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. B -> ( ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) ` a ) = ( b .+ a ) )
27	22, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ( ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) ` a ) = ( b .+ a ) )
28		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b .+ z ) e. _V
29	28, 24	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) Fn B
30		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) Fn B /\ a e. B ) -> ( ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) ` a ) e. ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) )
31	29, 22, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ( ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) ` a ) e. ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) )
32	27, 31	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ( b .+ a ) e. ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) )
33		sylow1lem4.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = { u e. X | ( u .(+) B ) = B }
34		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- { u e. X | ( u .(+) B ) = B } C_ X
35	33, 34	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 |- H C_ X
36		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> b e. H )
37	35, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> b e. X )
38	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> B e. S )
39		mptexg 6484	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. S -> ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) e. _V )
40		rnexg 7098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) e. _V -> ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) e. _V )
41	38, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) e. _V )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = B ) -> y = B )
43		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = b /\ y = B ) -> x = b )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = B ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
45	42, 44	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = B ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) )
46	45	rneqd 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = B ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) )
47		sylow1lem.m	. . . . . . . . . . 11 |- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
48	46, 47	ovmpt2ga 6790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. X /\ B e. S /\ ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) e. _V ) -> ( b .(+) B ) = ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) )
49	37, 38, 41, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ( b .(+) B ) = ran ( z e. B |-> ( b .+ z ) ) )
50	32, 49	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ( b .+ a ) e. ( b .(+) B ) )
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = b -> ( u .(+) B ) = ( b .(+) B ) )
52	51	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = b -> ( ( u .(+) B ) = B <-> ( b .(+) B ) = B ) )
53	52, 33	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. H <-> ( b e. X /\ ( b .(+) B ) = B ) )
54	53	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( b e. H -> ( b .(+) B ) = B )
55	54	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ( b .(+) B ) = B )
56	50, 55	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. H ) -> ( b .+ a ) e. B )
57	56	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( b e. H -> ( b .+ a ) e. B ) )
58		sylow1.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. Grp )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. H /\ c e. H ) ) -> G e. Grp )
60		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. H /\ c e. H ) ) -> b e. H )
61	35, 60	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. H /\ c e. H ) ) -> b e. X )
62		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. H /\ c e. H ) ) -> c e. H )
63	35, 62	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. H /\ c e. H ) ) -> c e. X )
64	6	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ~P X )
65	64	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ X )
66	65	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> a e. X )
67	66	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. H /\ c e. H ) ) -> a e. X )
68		sylow1.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
69		sylow1lem.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
70	68, 69	grprcan 17455	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ a e. X ) ) -> ( ( b .+ a ) = ( c .+ a ) <-> b = c ) )
71	59, 61, 63, 67, 70	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. H /\ c e. H ) ) -> ( ( b .+ a ) = ( c .+ a ) <-> b = c ) )
72	71	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( b e. H /\ c e. H ) -> ( ( b .+ a ) = ( c .+ a ) <-> b = c ) ) )
73	57, 72	dom2d 7996	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( B e. S -> H ~<_ B ) )
74	21, 73	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> H ~<_ B )
75	20, 74	exlimddv 1863	. . 3 |- ( ph -> H ~<_ B )
76		sylow1.f	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
77		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ H C_ X ) -> H e. Fin )
78	76, 35, 77	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> H e. Fin )
79		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( X e. Fin /\ B C_ X ) -> B e. Fin )
80	76, 65, 79	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> B e. Fin )
81		hashdom 13168	. . . 4 |- ( ( H e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( ( # ` H ) <_ ( # ` B ) <-> H ~<_ B ) )
82	78, 80, 81	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` H ) <_ ( # ` B ) <-> H ~<_ B ) )
83	75, 82	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( # ` H ) <_ ( # ` B ) )
84	83, 7	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> ( # ` H ) <_ ( P ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   0cc0 9936   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-prm 15386  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  sylow1lem5  18017