Theorem trgcopyeulem 25697

Description: Lemma for trgcopyeu 25698. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
trgcopy.p	|- P = ( Base ` G )
trgcopy.m	|- .- = ( dist ` G )
trgcopy.i	|- I = (Itv ` G )
trgcopy.l	|- L = (LineG ` G )
trgcopy.k	|- K = (hlG ` G )
trgcopy.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
trgcopy.a	|- ( ph -> A e. P )
trgcopy.b	|- ( ph -> B e. P )
trgcopy.c	|- ( ph -> C e. P )
trgcopy.d	|- ( ph -> D e. P )
trgcopy.e	|- ( ph -> E e. P )
trgcopy.f	|- ( ph -> F e. P )
trgcopy.1	|- ( ph -> -. ( A e. ( B L C ) \/ B = C ) )
trgcopy.2	|- ( ph -> -. ( D e. ( E L F ) \/ E = F ) )
trgcopy.3	|- ( ph -> ( A .- B ) = ( D .- E ) )
trgcopyeulem.o	|- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ ( D L E ) ) /\ b e. ( P \ ( D L E ) ) ) /\ E. t e. ( D L E ) t e. ( a I b ) ) }
trgcopyeulem.x	|- ( ph -> X e. P )
trgcopyeulem.y	|- ( ph -> Y e. P )
trgcopyeulem.1	|- ( ph -> <" A B C "> (cgrG ` G ) <" D E X "> )
trgcopyeulem.2	|- ( ph -> <" A B C "> (cgrG ` G ) <" D E Y "> )
trgcopyeulem.3	|- ( ph -> X ( (hpG ` G ) ` ( D L E ) ) F )
trgcopyeulem.4	|- ( ph -> Y ( (hpG ` G ) ` ( D L E ) ) F )

Assertion

Ref	Expression
trgcopyeulem	|- ( ph -> X = Y )

Distinct variable groups:   .- , a, b, t   A, a, b, t   B, a, b, t   C, a, b, t   D, a, b, t   E, a, b, t   F, a, b, t   G, a, b, t   I, a, b, t   L, a, b, t   P, a, b, t   ph, a, b, t   K, a   O, a, b, t   X, a, b, t   Y, a, b, t

Allowed substitution hints:   K( t, b)

Proof of Theorem trgcopyeulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trgcopy.p	. 2 |- P = ( Base ` G )
2		trgcopy.m	. 2 |- .- = ( dist ` G )
3		trgcopy.i	. 2 |- I = (Itv ` G )
4		trgcopy.g	. 2 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5		trgcopy.l	. . 3 |- L = (LineG ` G )
6		trgcopy.b	. . 3 |- ( ph -> B e. P )
7		trgcopy.c	. . 3 |- ( ph -> C e. P )
8		trgcopy.a	. . 3 |- ( ph -> A e. P )
9		trgcopy.1	. . 3 |- ( ph -> -. ( A e. ( B L C ) \/ B = C ) )
10	1, 5, 3, 4, 6, 7, 8, 9	ncoltgdim2 25460	. 2 |- ( ph -> GDimTarskiG≥ 2 )
11		eqid 2622	. 2 |- ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) = ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) )
12		trgcopy.d	. . 3 |- ( ph -> D e. P )
13		trgcopy.e	. . 3 |- ( ph -> E e. P )
14		trgcopy.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. P )
15		trgcopy.2	. . . 4 |- ( ph -> -. ( D e. ( E L F ) \/ E = F ) )
16	1, 3, 5, 4, 12, 13, 14, 15	ncolne1 25520	. . 3 |- ( ph -> D =/= E )
17	1, 3, 5, 4, 12, 13, 16	tgelrnln 25525	. 2 |- ( ph -> ( D L E ) e. ran L )
18		trgcopyeulem.x	. 2 |- ( ph -> X e. P )
19		trgcopyeulem.y	. 2 |- ( ph -> Y e. P )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (pInvG ` G ) = (pInvG ` G )
21	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> G e. TarskiG )
22	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( D L E ) e. ran L )
23		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> t e. ( D L E ) )
24	1, 5, 3, 21, 22, 23	tglnpt 25444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> t e. P )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( (pInvG ` G ) ` t ) = ( (pInvG ` G ) ` t )
26	1, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 19	lmicl 25678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) e. P )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) e. P )
28	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> X e. P )
29	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> D e. P )
30	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> E e. P )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
32	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> D =/= E )
33	32	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> E =/= D )
34	1, 3, 5, 21, 30, 29, 24, 33, 23	lncom 25517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> t e. ( E L D ) )
35	34	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( t e. ( E L D ) \/ E = D ) )
36	1, 5, 3, 21, 30, 29, 24, 35	colrot1 25454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( E e. ( D L t ) \/ D = t ) )
37		trgcopyeulem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> <" A B C "> (cgrG ` G ) <" D E X "> )
38	1, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37	cgr3simp3 25417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( X .- D ) )
39	1, 2, 3, 4, 7, 8, 18, 12, 38	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- X ) )
40		trgcopyeulem.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> <" A B C "> (cgrG ` G ) <" D E Y "> )
41	1, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40	cgr3simp3 25417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( Y .- D ) )
42	1, 2, 3, 4, 7, 8, 19, 12, 41	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- Y ) )
43	39, 42	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( D .- X ) = ( D .- Y ) )
44	1, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 19	lmiiso 25689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` D ) .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = ( D .- Y ) )
45	1, 3, 5, 4, 12, 13, 16	tglinerflx1 25528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D e. ( D L E ) )
46	1, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 45	lmicinv 25685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` D ) = D )
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` D ) .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = ( D .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
48	43, 44, 47	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( D .- X ) = ( D .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( D .- X ) = ( D .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
50	1, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37	cgr3simp2 25416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B .- C ) = ( E .- X ) )
51	1, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40	cgr3simp2 25416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B .- C ) = ( E .- Y ) )
52	50, 51	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E .- X ) = ( E .- Y ) )
53	1, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 19	lmiiso 25689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` E ) .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = ( E .- Y ) )
54	1, 3, 5, 4, 12, 13, 16	tglinerflx2 25529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> E e. ( D L E ) )
55	1, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 54	lmicinv 25685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` E ) = E )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` E ) .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = ( E .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
57	52, 53, 56	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E .- X ) = ( E .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( E .- X ) = ( E .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
59	1, 5, 3, 21, 29, 30, 24, 31, 28, 27, 2, 32, 36, 49, 58	lncgr 25464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( t .- X ) = ( t .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
61	1, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 59, 60	ismir 25554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> X = ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
62	61	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = X )
63	1, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 62	mircom 25558	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) )
64	63	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) = ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) )
65	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> GDimTarskiG≥ 2 )
66	1, 2, 3, 21, 65, 28, 27, 20, 24	ismidb 25670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) = ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) <-> ( X (midG ` G ) ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = t ) )
67	64, 66	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( X (midG ` G ) ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = t )
68	67, 23	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( X (midG ` G ) ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ( D L E ) )
69		trgcopyeulem.o	. . . . . . . . . 10 |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ ( D L E ) ) /\ b e. ( P \ ( D L E ) ) ) /\ E. t e. ( D L E ) t e. ( a I b ) ) }
70		trgcopyeulem.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y ( (hpG ` G ) ` ( D L E ) ) F )
71		trgcopyeulem.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X ( (hpG ` G ) ` ( D L E ) ) F )
72	1, 3, 5, 4, 17, 18, 69, 14, 71	hpgcom 25659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F ( (hpG ` G ) ` ( D L E ) ) X )
73	1, 3, 5, 4, 17, 19, 69, 14, 70, 18, 72	hpgtr 25660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y ( (hpG ` G ) ` ( D L E ) ) X )
74	1, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 14, 70	hpgne1 25653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. Y e. ( D L E ) )
75	1, 2, 3, 5, 4, 10, 17, 69, 11, 19, 74	lmiopp 25694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y O ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) )
76	1, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 18, 26, 75	lnopp2hpgb 25655	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X O ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) <-> Y ( (hpG ` G ) ` ( D L E ) ) X ) )
77	73, 76	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X O ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) )
78	1, 2, 3, 69, 18, 26	islnopp 25631	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X O ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) <-> ( ( -. X e. ( D L E ) /\ -. ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) e. ( D L E ) ) /\ E. t e. ( D L E ) t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) ) )
79	77, 78	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -. X e. ( D L E ) /\ -. ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) e. ( D L E ) ) /\ E. t e. ( D L E ) t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) )
80	79	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> E. t e. ( D L E ) t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
81	68, 80	r19.29a 3078	. . . . 5 |- ( ph -> ( X (midG ` G ) ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ( D L E ) )
82	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> G e. TarskiG )
83	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> ( D L E ) e. ran L )
84	1, 2, 3, 69, 5, 17, 4, 18, 26, 77	oppne3 25635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X =/= ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) )
85	1, 3, 5, 4, 18, 26, 84	tgelrnln 25525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ran L )
86	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ran L )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ran L )
88	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> X =/= ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) )
89	1, 3, 5, 21, 28, 27, 24, 88, 60	btwnlng1 25514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> t e. ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
90	23, 89	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> t e. ( ( D L E ) i^i ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> t e. ( ( D L E ) i^i ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) )
92	54	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> E e. ( D L E ) )
93	1, 3, 5, 4, 18, 26, 84	tglinerflx1 25528	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
94	93	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> X e. ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
95		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> E =/= t )
96	79	simplld 791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. X e. ( D L E ) )
97	96	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> -. X e. ( D L E ) )
98		nelne2 2891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. ( D L E ) /\ -. X e. ( D L E ) ) -> t =/= X )
99	23, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> t =/= X )
100	99	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> X =/= t )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> X =/= t )
102	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( E .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = ( E .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) )
103	58, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( E .- X ) = ( E .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> ( E .- X ) = ( E .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) )
105	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> E e. P )
106	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> t e. P )
107	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> X e. P )
108	1, 2, 3, 5, 20, 82, 105, 106, 107	israg 25592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> ( <" E t X "> e. (∟G ` G ) <-> ( E .- X ) = ( E .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) ) )
109	104, 108	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> <" E t X "> e. (∟G ` G ) )
110	1, 2, 3, 5, 82, 83, 87, 91, 92, 94, 95, 101, 109	ragperp 25612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ E =/= t ) -> ( D L E ) (⟂G ` G ) ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
111	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> G e. TarskiG )
112	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> ( D L E ) e. ran L )
113	86	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ran L )
114	90	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> t e. ( ( D L E ) i^i ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) )
115	45	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> D e. ( D L E ) )
116	93	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> X e. ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
117		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> D =/= t )
118	100	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> X =/= t )
119	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( D .- ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) = ( D .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) )
120	49, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( D .- X ) = ( D .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) )
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> ( D .- X ) = ( D .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) )
122	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> D e. P )
123	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> t e. P )
124	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> X e. P )
125	1, 2, 3, 5, 20, 111, 122, 123, 124	israg 25592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> ( <" D t X "> e. (∟G ` G ) <-> ( D .- X ) = ( D .- ( ( (pInvG ` G ) ` t ) ` X ) ) ) )
126	121, 125	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> <" D t X "> e. (∟G ` G ) )
127	1, 2, 3, 5, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 126	ragperp 25612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) /\ D =/= t ) -> ( D L E ) (⟂G ` G ) ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
128		neneor 2893	. . . . . . . . 9 |- ( E =/= D -> ( E =/= t \/ D =/= t ) )
129	33, 128	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( E =/= t \/ D =/= t ) )
130	110, 127, 129	mpjaodan 827	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( D L E ) (⟂G ` G ) ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
131	130	orcd 407	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. ( D L E ) ) /\ t e. ( X I ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) -> ( ( D L E ) (⟂G ` G ) ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) \/ X = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
132	131, 80	r19.29a 3078	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D L E ) (⟂G ` G ) ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) \/ X = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) )
133	81, 132	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X (midG ` G ) ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ( D L E ) /\ ( ( D L E ) (⟂G ` G ) ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) \/ X = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) )
134	1, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 26	islmib 25679	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` X ) <-> ( ( X (midG ` G ) ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) e. ( D L E ) /\ ( ( D L E ) (⟂G ` G ) ( X L ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) \/ X = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) ) ) ) )
135	133, 134	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` X ) )
136	135	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` X ) = ( ( (lInvG ` G ) ` ( D L E ) ) ` Y ) )
137	1, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 19, 136	lmieq 25683	1 |- ( ph -> X = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   {copab 4712   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2c2 11070   <"cs3 13587   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25333  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  cgrGccgrg 25405  hlGchlg 25495  pInvGcmir 25547  ∟Gcrag 25588  ⟂Gcperpg 25590  hpGchpg 25649  midGcmid 25664  lInvGclmi 25665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkgld 25351  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-hlg 25496  df-mir 25548  df-rag 25589  df-perpg 25591  df-hpg 25650  df-mid 25666  df-lmi 25667

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