Theorem tsmsres 21947

Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsres.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsres.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsres.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsres.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsres.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsres.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsres.s	|- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ W )

Assertion

Ref	Expression
tsmsres	|- ( ph -> ( G tsums ( F |` W ) ) = ( G tsums F ) )

Proof of Theorem tsmsres

Dummy variables a b u y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i W ) C_ A
2		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i W ) C_ A <-> ~P ( A i^i W ) C_ ~P A )
3	1, 2	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ~P ( A i^i W ) C_ ~P A
4		ssrin 3838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( A i^i W ) C_ ~P A -> ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) C_ ( ~P A i^i Fin ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) C_ ( ~P A i^i Fin )
6		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) )
7	5, 6	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P A i^i Fin ) )
8		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( z C_ A /\ z e. Fin ) )
9	8	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z C_ A )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> z C_ A )
11		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z C_ A -> ( z i^i W ) C_ ( A i^i W ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( z i^i W ) C_ ( A i^i W ) )
13	8	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z e. Fin )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
15		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z i^i W ) C_ z
16		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Fin /\ ( z i^i W ) C_ z ) -> ( z i^i W ) e. Fin )
17	14, 15, 16	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( z i^i W ) e. Fin )
18		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z i^i W ) e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) <-> ( ( z i^i W ) C_ ( A i^i W ) /\ ( z i^i W ) e. Fin ) )
19	12, 17, 18	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( z i^i W ) e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) )
20		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( z i^i W ) -> ( a C_ b <-> a C_ ( z i^i W ) ) )
21		ssin 3835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a C_ z /\ a C_ W ) <-> a C_ ( z i^i W ) )
22	20, 21	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( z i^i W ) -> ( a C_ b <-> ( a C_ z /\ a C_ W ) ) )
23		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = ( z i^i W ) -> ( ( F |` W ) |` b ) = ( ( F |` W ) |` ( z i^i W ) ) )
24		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z i^i W ) C_ W
25		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z i^i W ) C_ W -> ( ( F |` W ) |` ( z i^i W ) ) = ( F |` ( z i^i W ) ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F |` W ) |` ( z i^i W ) ) = ( F |` ( z i^i W ) )
27	23, 26	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( z i^i W ) -> ( ( F |` W ) |` b ) = ( F |` ( z i^i W ) ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( z i^i W ) -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) = ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) )
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( z i^i W ) -> ( ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) e. u ) )
30	22, 29	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( z i^i W ) -> ( ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) <-> ( ( a C_ z /\ a C_ W ) -> ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) e. u ) ) )
31	30	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z i^i W ) e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) -> ( A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) -> ( ( a C_ z /\ a C_ W ) -> ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) e. u ) ) )
32	19, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) -> ( ( a C_ z /\ a C_ W ) -> ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) e. u ) ) )
33		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) <-> ( a C_ ( A i^i W ) /\ a e. Fin ) )
34	33	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) -> a C_ ( A i^i W ) )
35	34	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a C_ ( A i^i W ) )
36		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A i^i W ) C_ W
37	35, 36	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> a C_ W )
38	37	biantrud 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( a C_ z <-> ( a C_ z /\ a C_ W ) ) )
39		resres 5409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F |` z ) |` W ) = ( F |` ( z i^i W ) )
40	39	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G gsumg ( ( F |` z ) |` W ) ) = ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) )
41		tsmsres.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` G )
42		tsmsres.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .0. = ( 0g ` G )
43		tsmsres.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G e. CMnd )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
45		tsmsres.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : A --> B )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> B )
47	46, 10	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` z ) : z --> B )
48		tsmsres.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. V )
49		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V ) -> F e. _V )
50	45, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. _V )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F e. _V )
52		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0g ` G ) e. _V
53	42, 52	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. e. _V
54		ressuppss 7314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( F |` z ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
55	51, 53, 54	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` z ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
56		tsmsres.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ W )
57	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F supp .0. ) C_ W )
58	55, 57	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` z ) supp .0. ) C_ W )
59	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> .0. e. _V )
60	47, 14, 59	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` z ) finSupp .0. )
61	41, 42, 44, 14, 47, 58, 60	gsumres 18314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( ( F |` z ) |` W ) ) = ( G gsumg ( F |` z ) ) )
62	40, 61	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) )
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) e. u ) )
64	38, 63	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( a C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( ( a C_ z /\ a C_ W ) -> ( G gsumg ( F |` ( z i^i W ) ) ) e. u ) ) )
65	32, 64	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) -> ( a C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
66	65	ralrimdva 2969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) -> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( a C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
67		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = a -> ( y C_ z <-> a C_ z ) )
68	67	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = a -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( a C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
69	68	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( a C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
70	69	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( ~P A i^i Fin ) /\ A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( a C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
71	7, 66, 70	syl6an 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
72	71	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
73		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
74	73	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
76		ssrin 3838	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ A -> ( y i^i W ) C_ ( A i^i W ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y i^i W ) C_ ( A i^i W ) )
78	73	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
80		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( y i^i W ) C_ y
81		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ ( y i^i W ) C_ y ) -> ( y i^i W ) e. Fin )
82	79, 80, 81	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y i^i W ) e. Fin )
83		elfpw 8268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y i^i W ) e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) <-> ( ( y i^i W ) C_ ( A i^i W ) /\ ( y i^i W ) e. Fin ) )
84	77, 82, 83	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( y i^i W ) e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) )
85	74	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> y C_ A )
86		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) <-> ( b C_ ( A i^i W ) /\ b e. Fin ) )
87	86	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) -> b C_ ( A i^i W ) )
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> b C_ ( A i^i W ) )
89	88, 1	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> b C_ A )
90	85, 89	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( y u. b ) C_ A )
91	86	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) -> b e. Fin )
92		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ b e. Fin ) -> ( y u. b ) e. Fin )
93	79, 91, 92	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( y u. b ) e. Fin )
94		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y u. b ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( y u. b ) C_ A /\ ( y u. b ) e. Fin ) )
95	90, 93, 94	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( y u. b ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
96		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y C_ ( y u. b )
97		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y u. b ) -> z = ( y u. b ) )
98	96, 97	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. b ) -> y C_ z )
99		pm5.5 351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ z -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. b ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) )
101		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( y u. b ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( y u. b ) ) )
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( y u. b ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) )
103	102	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( y u. b ) -> ( ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u ) )
104	100, 103	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( y u. b ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u ) )
105	104	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y u. b ) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u ) )
106	95, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u ) )
107	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> G e. CMnd )
108	93	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( y u. b ) e. Fin )
109	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> F : A --> B )
110	90	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( y u. b ) C_ A )
111	109, 110	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( F |` ( y u. b ) ) : ( y u. b ) --> B )
112	50, 53	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( F e. _V /\ .0. e. _V ) )
113	112	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( F e. _V /\ .0. e. _V ) )
114		ressuppss 7314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( F |` ( y u. b ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( F |` ( y u. b ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
116	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( F supp .0. ) C_ W )
117	115, 116	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( F |` ( y u. b ) ) supp .0. ) C_ W )
118	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> .0. e. _V )
119	111, 108, 118	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( F |` ( y u. b ) ) finSupp .0. )
120	41, 42, 107, 108, 111, 117, 119	gsumres 18314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( G gsumg ( ( F |` ( y u. b ) ) |` W ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) )
121		resres 5409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F |` ( y u. b ) ) |` W ) = ( F |` ( ( y u. b ) i^i W ) )
122		indir 3875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y u. b ) i^i W ) = ( ( y i^i W ) u. ( b i^i W ) )
123	88, 36	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> b C_ W )
124	123	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> b C_ W )
125		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b C_ W <-> ( b i^i W ) = b )
126	124, 125	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( b i^i W ) = b )
127	126	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( y i^i W ) u. ( b i^i W ) ) = ( ( y i^i W ) u. b ) )
128		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( y i^i W ) C_ b )
129		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y i^i W ) C_ b <-> ( ( y i^i W ) u. b ) = b )
130	128, 129	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( y i^i W ) u. b ) = b )
131	127, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( y i^i W ) u. ( b i^i W ) ) = b )
132	122, 131	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( y u. b ) i^i W ) = b )
133	132	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( F |` ( ( y u. b ) i^i W ) ) = ( F |` b ) )
134	121, 133	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( F |` ( y u. b ) ) |` W ) = ( F |` b ) )
135	124	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( F |` W ) |` b ) = ( F |` b ) )
136	134, 135	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( F |` ( y u. b ) ) |` W ) = ( ( F |` W ) |` b ) )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( G gsumg ( ( F |` ( y u. b ) ) |` W ) ) = ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) )
138	120, 137	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) = ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) )
139	138	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u <-> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) )
140	139	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ ( y i^i W ) C_ b ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) )
141	140	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( ( y i^i W ) C_ b -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
142	141	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. b ) ) ) e. u -> ( ( y i^i W ) C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
143	106, 142	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> ( ( y i^i W ) C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
144	143	ralrimdva 2969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( ( y i^i W ) C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
145		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( y i^i W ) -> ( a C_ b <-> ( y i^i W ) C_ b ) )
146	145	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( y i^i W ) -> ( ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) <-> ( ( y i^i W ) C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
147	146	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( y i^i W ) -> ( A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) <-> A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( ( y i^i W ) C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
148	147	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y i^i W ) e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) /\ A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( ( y i^i W ) C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) -> E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) )
149	84, 144, 148	syl6an 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
150	149	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) -> E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) )
151	72, 150	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) <-> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
152	151	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. u -> E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) <-> ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) )
153	152	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ph -> ( A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) )
154	153	anbi2d 740	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) ) <-> ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) ) )
155		eqid 2622	. . . 4 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
156		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) = ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin )
157		tsmsres.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. TopSp )
158		inex1g 4801	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A i^i W ) e. _V )
159	48, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A i^i W ) e. _V )
160		fssres 6070	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ ( A i^i W ) C_ A ) -> ( F |` ( A i^i W ) ) : ( A i^i W ) --> B )
161	45, 1, 160	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( A i^i W ) ) : ( A i^i W ) --> B )
162		resres 5409	. . . . . . 7 |- ( ( F |` A ) |` W ) = ( F |` ( A i^i W ) )
163		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
164		fnresdm 6000	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
165	45, 163, 164	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
166	165	reseq1d 5395	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` A ) |` W ) = ( F |` W ) )
167	162, 166	syl5eqr 2670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` ( A i^i W ) ) = ( F |` W ) )
168	167	feq1d 6030	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F |` ( A i^i W ) ) : ( A i^i W ) --> B <-> ( F |` W ) : ( A i^i W ) --> B ) )
169	161, 168	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` W ) : ( A i^i W ) --> B )
170	41, 155, 156, 43, 157, 159, 169	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums ( F |` W ) ) <-> ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. a e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) A. b e. ( ~P ( A i^i W ) i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F |` W ) |` b ) ) e. u ) ) ) ) )
171		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
172	41, 155, 171, 43, 157, 48, 45	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) ) )
173	154, 170, 172	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums ( F |` W ) ) <-> x e. ( G tsums F ) ) )
174	173	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( G tsums ( F |` W ) ) = ( G tsums F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   TopSpctps 20736   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  tsmssplit  21955  esumss  30134