Theorem tsmssubm 21946

Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssubm.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmssubm.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmssubm.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmssubm.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
tsmssubm.f	|- ( ph -> F : A --> S )
tsmssubm.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
tsmssubm	|- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Proof of Theorem tsmssubm

Dummy variables v u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssubm.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
2		tsmssubm.h	. . . . . . 7 |- H = ( G ↾s S )
3	2	submbas 17355	. . . . . 6 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( Base ` H ) )
5	4	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. S <-> x e. ( Base ` H ) ) )
6	5	anbi1d 741	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
7		elin 3796	. . . . 5 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) )
8		ancom 466	. . . . 5 |- ( ( x e. ( G tsums F ) /\ x e. S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . 4 |- ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
11	10	submss 17350	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
13	12	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` G ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
15		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
16		tsmssubm.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. CMnd )
17		tsmssubm.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TopSp )
18		tsmssubm.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
19		tsmssubm.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : A --> S )
20	19, 12	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` G ) )
21	10, 14, 15, 16, 17, 18, 20	eltsms 21936	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` G ) /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) ) )
22	21	baibd 948	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
23	13, 22	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
24		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
25	24	inex1 4799	. . . . . . . 8 |- ( u i^i S ) e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ u e. ( TopOpen ` G ) ) -> ( u i^i S ) e. _V )
27	2, 14	resstopn 20990	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) = ( TopOpen ` H )
28	27	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> v e. ( TopOpen ` H ) )
29		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` G ) e. _V
30		elrest 16088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. _V /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
31	29, 1, 30	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( ( TopOpen ` G ) ↾t S ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
33	28, 32	syl5bbr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( v e. ( TopOpen ` H ) <-> E. u e. ( TopOpen ` G ) v = ( u i^i S ) ) )
34		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( x e. v <-> x e. ( u i^i S ) ) )
35		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i S ) <-> ( x e. u /\ x e. S ) )
36	35	rbaib 947	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( u i^i S ) <-> x e. u ) )
38	34, 37	sylan9bbr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( x e. v <-> x e. u ) )
39		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u i^i S ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
42	2	submmnd 17354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> H e. Mnd )
43	1, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> H e. Mnd )
44	2	subcmn 18242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. CMnd /\ H e. Mnd ) -> H e. CMnd )
45	16, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> H e. CMnd )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> H e. CMnd )
47		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
48	47	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
50	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : A --> S )
51	47	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
53	50, 52	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> S )
54	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S = ( Base ` H ) )
55	54	feq3d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` y ) : y --> S <-> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) ) )
56	53, 55	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( Base ` H ) )
57		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` H ) e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 0g ` H ) e. _V )
59	53, 49, 58	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` y ) finSupp ( 0g ` H ) )
60	40, 41, 46, 49, 56, 59	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( Base ` H ) )
61	60, 54	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S )
62		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u /\ ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S ) )
63	62	rbaib 947	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. S -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
64	61, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
65	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> S e. (SubMnd ` G ) )
66	49, 65, 53, 2	gsumsubm 17373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) = ( H gsumg ( F |` y ) ) )
67	66	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u <-> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
68	64, 67	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. ( u i^i S ) <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
69	39, 68	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
70	69	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) )
71	70	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
72	71	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
73	72	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
74	38, 73	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ v = ( u i^i S ) ) -> ( ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
75	26, 33, 74	ralxfr2d 4882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
76	23, 75	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( G tsums F ) <-> A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) )
77	76	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ x e. ( G tsums F ) ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
78	9, 77	syl5bb 272	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) <-> ( x e. S /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
79		eqid 2622	. . . 4 |- ( TopOpen ` H ) = ( TopOpen ` H )
80		resstps 20991	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopSp /\ S e. (SubMnd ` G ) ) -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
81	17, 1, 80	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ↾s S ) e. TopSp )
82	2, 81	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> H e. TopSp )
83	4	feq3d 6032	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : A --> S <-> F : A --> ( Base ` H ) ) )
84	19, 83	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> ( Base ` H ) )
85	40, 79, 15, 45, 82, 18, 84	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> ( x e. ( Base ` H ) /\ A. v e. ( TopOpen ` H ) ( x e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( H gsumg ( F |` y ) ) e. v ) ) ) ) )
86	6, 78, 85	3bitr4rd 301	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( H tsums F ) <-> x e. ( ( G tsums F ) i^i S ) ) )
87	86	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( H tsums F ) = ( ( G tsums F ) i^i S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193   TopSpctps 20736   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

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