Theorem umgr3cyclex 27043

Description: If there are three (different) vertices in a multigraph which are mutually connected by edges, there is a 3-cycle in the graph containing one of these vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.) (Revised by AV, 12-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr3cyclex.v	|- V = (Vtx ` G )
uhgr3cyclex.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr3cyclex	|- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> E. f E. p ( f (Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 /\ ( p ` 0 ) = A ) )

Distinct variable groups:   A, f, p   B, f, p   C, f, p   f, G, p

Allowed substitution hints:   E( f, p)   V( f, p)

Proof of Theorem umgr3cyclex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 25999	. . 3 |- ( G e. UMGraph -> G e. UHGraph )
2	1	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> G e. UHGraph )
3		simp2 1062	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) )
4		uhgr3cyclex.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
5	4	umgredgne 26040	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E ) -> A =/= B )
6	5	3ad2antr1 1226	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> A =/= B )
7		prcom 4267	. . . . . . . 8 |- { C , A } = { A , C }
8	7	eleq1i 2692	. . . . . . 7 |- ( { C , A } e. E <-> { A , C } e. E )
9	8	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( { C , A } e. E -> { A , C } e. E )
10	9	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) -> { A , C } e. E )
11	4	umgredgne 26040	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { A , C } e. E ) -> A =/= C )
12	10, 11	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> A =/= C )
13		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) -> { B , C } e. E )
14	4	umgredgne 26040	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ { B , C } e. E ) -> B =/= C )
15	13, 14	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> B =/= C )
16	6, 12, 15	3jca 1242	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) )
17	16	3adant2 1080	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) )
18		simp3 1063	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) )
19		uhgr3cyclex.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
20	19, 4	uhgr3cyclex 27042	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> E. f E. p ( f (Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 /\ ( p ` 0 ) = A ) )
21	2, 3, 17, 18, 20	syl121anc 1331	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> E. f E. p ( f (Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 /\ ( p ` 0 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   3c3 11071   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951   UMGraph cumgr 25976  Cyclesccycls 26680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-pths 26612  df-cycls 26682

This theorem is referenced by:  umgr3v3e3cycl  27044  3cyclfrgr  27152