Theorem usgr2pth 26660

Description: In a simple graph, there is a path of length 2 iff there are three distinct vertices so that one of them is connected to each of the two others by an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgr2pthlem.v	|- V = (Vtx ` G )
usgr2pthlem.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
usgr2pth	|- ( G e. USGraph -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, F, y, z   x, G, y, z   x, I, y, z   x, P, y, z   x, V, y, z

Proof of Theorem usgr2pth

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgr2pthspth 26658	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F (Paths ` G ) P <-> F (SPaths ` G ) P ) )
2		usgrupgr 26077	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USGraph -> G e. UPGraph )
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> G e. UPGraph )
4		isspth 26620	. . . . . . . . . . 11 |- ( F (SPaths ` G ) P <-> ( F (Trails ` G ) P /\ Fun `' P ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. UPGraph -> ( F (SPaths ` G ) P <-> ( F (Trails ` G ) P /\ Fun `' P ) ) )
6		usgr2pthlem.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- V = (Vtx ` G )
7		usgr2pthlem.i	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = (iEdg ` G )
8	6, 7	upgrf1istrl 26600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. UPGraph -> ( F (Trails ` G ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) )
9	8	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. UPGraph -> ( ( F (Trails ` G ) P /\ Fun `' P ) <-> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
11		f1eq2 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
13	12	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
15	14	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
16	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
17	16	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) )
18		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
19	18	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
20		df-f1 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ Fun `' P ) )
21	20	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( Fun `' P -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) )
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( Fun `' P -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
23	19, 22	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( Fun `' P -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( Fun `' P -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
25	24	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( Fun `' P -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
26	25	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( Fun `' P -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
27	26	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) )
29	6, 7	usgr2pthlem 26659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
30	29	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
31	17, 28, 30	3jcad 1243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. UPGraph /\ ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. UPGraph -> ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
33	9, 32	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. UPGraph -> ( ( F (Trails ` G ) P /\ Fun `' P ) -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
34	5, 33	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UPGraph -> ( F (SPaths ` G ) P -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
35	34	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( G e. UPGraph -> ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F (SPaths ` G ) P -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
36	3, 35	mpcom 38	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F (SPaths ` G ) P -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
37	1, 36	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F (Paths ` G ) P -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
38	37	ex 450	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( F (Paths ` G ) P -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
39	38	com13 88	. . . 4 |- ( F (Paths ` G ) P -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( G e. USGraph -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
40	39	imp 445	. . 3 |- ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( G e. USGraph -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
41	40	com12 32	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
42		2nn0 11309	. . . . . 6 |- 2 e. NN0
43		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ 2 ) --> dom I )
44		fnfzo0hash 13234	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN0 /\ F : ( 0..^ 2 ) --> dom I ) -> ( # ` F ) = 2 )
45	42, 43, 44	sylancr 695	. . . . 5 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> ( # ` F ) = 2 )
46		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 = ( # ` F ) -> ( 0..^ 2 ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
47	46	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ 2 ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) )
48		f1eq2 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0..^ 2 ) = ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I <-> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I <-> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I ) )
50	49	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I ) )
51	50	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I )
54		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 = ( # ` F ) -> ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) )
56	55	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) -> ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( # ` F ) ) )
58	57	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V <-> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) )
59	54, 58	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V ) )
60	59	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V )
62		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( P ` 0 ) = x <-> x = ( P ` 0 ) )
63	62	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P ` 0 ) = x -> x = ( P ` 0 ) )
64	63	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> x = ( P ` 0 ) )
65		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( P ` 1 ) = y <-> y = ( P ` 1 ) )
66	65	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P ` 1 ) = y -> y = ( P ` 1 ) )
67	66	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> y = ( P ` 1 ) )
68	64, 67	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> { x , y } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
69	68	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } <-> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
70	69	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
72	71	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
73		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( P ` 2 ) = z <-> z = ( P ` 2 ) )
74	73	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P ` 2 ) = z -> z = ( P ` 2 ) )
75	74	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> z = ( P ` 2 ) )
76	67, 75	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> { y , z } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
77	76	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> ( ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } <-> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
78	77	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) -> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
80	79	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
81	72, 80	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
82	81	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
83	82	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
84	83	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
85	84	a1i13 27	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( G e. USGraph -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) ) )
86		fzo0to2pr 12553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
87	10, 86	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = { 0 , 1 } )
88	87	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. { 0 , 1 } ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
89		2wlklem 26563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
90	88, 89	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
91	90	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( G e. USGraph -> A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) <-> ( G e. USGraph -> ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) ) )
92	85, 91	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( G e. USGraph -> A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) -> ( E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( G e. USGraph -> A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) ) )
94	93	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) -> ( G e. USGraph -> A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
95	94	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } )
96	53, 61, 95	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
97	20	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V -> Fun `' P )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) -> Fun `' P )
99	98	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> Fun `' P )
100	96, 99	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) )
101	5, 9	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. UPGraph -> ( F (SPaths ` G ) P <-> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) )
102	2, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. USGraph -> ( F (SPaths ` G ) P <-> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( F (SPaths ` G ) P <-> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) /\ Fun `' P ) ) )
104	100, 103	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> F (SPaths ` G ) P )
105		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> G e. USGraph )
106		simp-4l 806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( # ` F ) = 2 )
107	105, 106, 1	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( F (Paths ` G ) P <-> F (SPaths ` G ) P ) )
108	104, 107	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> F (Paths ` G ) P )
109	108, 106	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) /\ G e. USGraph ) -> ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) )
110	109	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( # ` F ) = 2 /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I ) /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) -> ( G e. USGraph -> ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) ) )
111	110	exp41 638	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V -> ( E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( G e. USGraph -> ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) ) ) ) ) )
112	45, 111	mpcom 38	. . . 4 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I -> ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V -> ( E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) -> ( G e. USGraph -> ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) ) ) ) )
113	112	3imp 1256	. . 3 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) -> ( G e. USGraph -> ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) ) )
114	113	com12 32	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) -> ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) ) )
115	41, 114	impbid 202	1 |- ( G e. USGraph -> ( ( F (Paths ` G ) P /\ ( # ` F ) = 2 ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom I /\ P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V /\ E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( I ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( I ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UPGraph cupgr 25975   USGraph cusgr 26044  Trailsctrls 26587  Pathscpths 26608  SPathscspths 26609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-wlks 26495  df-wlkson 26496  df-trls 26589  df-trlson 26590  df-pths 26612  df-spths 26613  df-pthson 26614  df-spthson 26615

This theorem is referenced by:  usgr2pth0  26661