Theorem uzindi 12781

Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindi.a	|- ( ph -> A e. V )
uzindi.b	|- ( ph -> T e. ( ZZ>= ` L ) )
uzindi.c	|- ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) /\ A. y ( S e. ( L..^ R ) -> ch ) ) -> ps )
uzindi.d	|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
uzindi.e	|- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
uzindi.f	|- ( x = y -> R = S )
uzindi.g	|- ( x = A -> R = T )

Assertion

Ref	Expression
uzindi	|- ( ph -> th )

Distinct variable groups:   x, y, L   x, A   x, S   x, T, y   ch, x   ph, x, y   th, x   y, R   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   th( y)   A( y)   R( x)   S( y)   V( x, y)

Proof of Theorem uzindi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindi.b	. . 3 |- ( ph -> T e. ( ZZ>= ` L ) )
2		eluzfz2 12349	. . 3 |- ( T e. ( ZZ>= ` L ) -> T e. ( L ... T ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> T e. ( L ... T ) )
4		uzindi.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
5		fzofi 12773	. . . 4 |- ( L..^ T ) e. Fin
6		finnum 8774	. . . 4 |- ( ( L..^ T ) e. Fin -> ( L..^ T ) e. dom card )
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( L..^ T ) e. dom card )
8		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) ) /\ R e. ( L ... T ) ) -> ph )
9		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) ) /\ R e. ( L ... T ) ) -> R e. ( L ... T ) )
10		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. ( L ... T ) -> T e. ( ZZ>= ` R ) )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) -> T e. ( ZZ>= ` R ) )
12		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. ( ZZ>= ` R ) -> ( L..^ R ) C_ ( L..^ T ) )
13		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L..^ T ) C_ ( L ... T )
14	12, 13	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T e. ( ZZ>= ` R ) -> ( L..^ R ) C_ ( L ... T ) )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) -> ( L..^ R ) C_ ( L ... T ) )
16	15	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) /\ S e. ( L..^ R ) ) -> S e. ( L ... T ) )
17		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L..^ R ) e. Fin
18		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. ( L..^ R ) -> S e. ( L ... R ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) /\ S e. ( L..^ R ) ) -> S e. ( L ... R ) )
20		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. ( L ... R ) -> R e. ( ZZ>= ` S ) )
21		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. ( ZZ>= ` S ) -> ( L..^ S ) C_ ( L..^ R ) )
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) /\ S e. ( L..^ R ) ) -> ( L..^ S ) C_ ( L..^ R ) )
23		fzonel 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. S e. ( L..^ S )
24	23	jctr 565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. ( L..^ R ) -> ( S e. ( L..^ R ) /\ -. S e. ( L..^ S ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) /\ S e. ( L..^ R ) ) -> ( S e. ( L..^ R ) /\ -. S e. ( L..^ S ) ) )
26		ssnelpss 3718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L..^ S ) C_ ( L..^ R ) -> ( ( S e. ( L..^ R ) /\ -. S e. ( L..^ S ) ) -> ( L..^ S ) C. ( L..^ R ) ) )
27	22, 25, 26	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) /\ S e. ( L..^ R ) ) -> ( L..^ S ) C. ( L..^ R ) )
28		php3 8146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L..^ R ) e. Fin /\ ( L..^ S ) C. ( L..^ R ) ) -> ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) )
29	17, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) /\ S e. ( L..^ R ) ) -> ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) )
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) )
31	30	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( L ... T ) -> ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> ch ) ) )
32	16, 29, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) /\ S e. ( L..^ R ) ) -> ( ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> ch ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) -> ( S e. ( L..^ R ) -> ( ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> ch ) ) )
34	33	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) -> ( ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> ( S e. ( L..^ R ) -> ch ) ) )
35	34	alimdv 1845	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) ) -> ( A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> A. y ( S e. ( L..^ R ) -> ch ) ) )
36	35	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R e. ( L ... T ) -> ( A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> A. y ( S e. ( L..^ R ) -> ch ) ) ) )
37	36	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) -> ( R e. ( L ... T ) -> A. y ( S e. ( L..^ R ) -> ch ) ) ) )
38	37	imp31 448	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) ) /\ R e. ( L ... T ) ) -> A. y ( S e. ( L..^ R ) -> ch ) )
39		uzindi.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R e. ( L ... T ) /\ A. y ( S e. ( L..^ R ) -> ch ) ) -> ps )
40	8, 9, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) ) /\ R e. ( L ... T ) ) -> ps )
41	40	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) ) -> ( R e. ( L ... T ) -> ps ) )
42	41	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( ph /\ ( L..^ R ) ~<_ ( L..^ T ) /\ A. y ( ( L..^ S ) ~< ( L..^ R ) -> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) ) -> ( R e. ( L ... T ) -> ps ) )
43		uzindi.f	. . . . 5 |- ( x = y -> R = S )
44	43	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = y -> ( R e. ( L ... T ) <-> S e. ( L ... T ) ) )
45		uzindi.d	. . . 4 |- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
46	44, 45	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = y -> ( ( R e. ( L ... T ) -> ps ) <-> ( S e. ( L ... T ) -> ch ) ) )
47		uzindi.g	. . . . 5 |- ( x = A -> R = T )
48	47	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = A -> ( R e. ( L ... T ) <-> T e. ( L ... T ) ) )
49		uzindi.e	. . . 4 |- ( x = A -> ( ps <-> th ) )
50	48, 49	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = A -> ( ( R e. ( L ... T ) -> ps ) <-> ( T e. ( L ... T ) -> th ) ) )
51	43	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = y -> ( L..^ R ) = ( L..^ S ) )
52	47	oveq2d 6666	. . 3 |- ( x = A -> ( L..^ R ) = ( L..^ T ) )
53	4, 7, 42, 46, 50, 51, 52	indcardi 8864	. 2 |- ( ph -> ( T e. ( L ... T ) -> th ) )
54	3, 53	mpd 15	1 |- ( ph -> th )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   cardccrd 8761   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  psgnunilem4  17917