Theorem finnum 8774

Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finnum	|- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Proof of Theorem finnum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 7979	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
2		nnon 7071	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. On )
3		ensym 8005	. . . 4 |- ( A ~~ x -> x ~~ A )
4		isnumi 8772	. . . 4 |- ( ( x e. On /\ x ~~ A ) -> A e. dom card )
5	2, 3, 4	syl2an 494	. . 3 |- ( ( x e. om /\ A ~~ x ) -> A e. dom card )
6	5	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. dom card )
7	1, 6	sylbi 207	1 |- ( A e. Fin -> A e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Oncon0 5723   omcom 7065   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  ficardom  8787  ficardid  8788  fidomtri  8819  numwdom  8882  fodomfi2  8883  dfac12k  8969  ficardun  9024  ficardun2  9025  pwsdompw  9026  ackbij2  9065  sdom2en01  9124  dfacfin7  9221  fin1a2lem9  9230  domtriomlem  9264  zornn0g  9327  canthnum  9471  pwfseqlem4  9484  uzindi  12781  hashkf  13119  hashgval  13120  hashen  13135  hashdom  13168  symggen  17890  pgpfac1lem5  18478  fiufl  21720  finixpnum  33394  poimirlem32  33441  ttac  37603