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Theorem uzsupss 11780
Description: Any bounded subset of an upper set of integers has a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsupss.1 |- Z = ( ZZ>= ` M )
Assertion
Ref Expression
uzsupss |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. Z ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, M, y   x, Z
Allowed substitution hints:   M( z)   Z( y, z)
Proof of Theorem uzsupss
StepHypRef Expression
1 simpl1 1064 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> M e. ZZ )
2 uzid 11702 . . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
31, 2syl 17 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
4 uzsupss.1 . . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
53, 4syl6eleqr 2712 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> M e. Z )
6 ral0 4076 . . . 4 |- A. y e. (/) -. M < y
7 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> A = (/) )
87raleqdv 3144 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> ( A. y e. A -. M < y <-> A. y e. (/) -. M < y ) )
96, 8mpbiri 248 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> A. y e. A -. M < y )
10 eluzle 11700 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ y )
11 eluzel2 11692 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
12 eluzelz 11697 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> y e. ZZ )
13 zre 11381 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
14 zre 11381 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
15 lenlt 10116 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ y e. RR ) -> ( M <_ y <-> -. y < M ) )
1613, 14, 15syl2an 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( M <_ y <-> -. y < M ) )
1711, 12, 16syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ y <-> -. y < M ) )
1810, 17mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( y e. ( ZZ>= ` M ) -> -. y < M )
1918, 4eleq2s 2719 . . . . . 6 |- ( y e. Z -> -. y < M )
2019pm2.21d 118 . . . . 5 |- ( y e. Z -> ( y < M -> E. z e. A y < z ) )
2120rgen 2922 . . . 4 |- A. y e. Z ( y < M -> E. z e. A y < z )
2221a1i 11 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> A. y e. Z ( y < M -> E. z e. A y < z ) )
23 breq1 4656 . . . . . . 7 |- ( x = M -> ( x < y <-> M < y ) )
2423notbid 308 . . . . . 6 |- ( x = M -> ( -. x < y <-> -. M < y ) )
2524ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( x = M -> ( A. y e. A -. x < y <-> A. y e. A -. M < y ) )
26 breq2 4657 . . . . . . 7 |- ( x = M -> ( y < x <-> y < M ) )
2726imbi1d 331 . . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> ( y < M -> E. z e. A y < z ) ) )
2827ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( x = M -> ( A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> A. y e. Z ( y < M -> E. z e. A y < z ) ) )
2925, 28anbi12d 747 . . . 4 |- ( x = M -> ( ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. M < y /\ A. y e. Z ( y < M -> E. z e. A y < z ) ) ) )
3029rspcev 3309 . . 3 |- ( ( M e. Z /\ ( A. y e. A -. M < y /\ A. y e. Z ( y < M -> E. z e. A y < z ) ) ) -> E. x e. Z ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
315, 9, 22, 30syl12anc 1324 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A = (/) ) -> E. x e. Z ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
32 simpl2 1065 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A =/= (/) ) -> A C_ Z )
33 uzssz 11707 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
344, 33eqsstri 3635 . . . . 5 |- Z C_ ZZ
3532, 34syl6ss 3615 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A =/= (/) ) -> A C_ ZZ )
36 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A =/= (/) ) -> A =/= (/) )
37 simpl3 1066 . . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A =/= (/) ) -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
38 zsupss 11777 . . . 4 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
40 ssrexv 3667 . . 3 |- ( A C_ Z -> ( E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) -> E. x e. Z ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) )
4132, 39, 40sylc 65 . 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) /\ A =/= (/) ) -> E. x e. Z ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4231, 41pm2.61dane 2881 1 |- ( ( M e. ZZ /\ A C_ Z /\ E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. Z ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. Z ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688
This theorem is referenced by:  dgrcl  23989  dgrub  23990  dgrlb  23992  oddpwdc  30416
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