Theorem vdwnnlem3 15701

Description: Lemma for vdwnn 15702. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwnn.1	|- ( ph -> R e. Fin )
vdwnn.2	|- ( ph -> F : NN --> R )
vdwnn.3	|- S = { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) }
vdwnn.4	|- ( ph -> A. c e. R S =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
vdwnnlem3	|- -. ph

Distinct variable groups:   a, d, k, m, c   ph, a, c, d   R, a, c, d   F, a   k, c, F, d, m   S, a, d, k, m

Allowed substitution hints:   ph( k, m)   R( k, m)   S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwnn.1	. . 3 |- ( ph -> R e. Fin )
2		vdwnn.3	. . . . . . 7 |- S = { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) }
3		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) } C_ NN
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- S C_ NN
5		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- S C_ ( ZZ>= ` 1 )
7		vdwnn.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. c e. R S =/= (/) )
8	7	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. R ) -> S =/= (/) )
9		infssuzcl 11772	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ S =/= (/) ) -> inf ( S , RR , < ) e. S )
10	6, 8, 9	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. R ) -> inf ( S , RR , < ) e. S )
11	4, 10	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. R ) -> inf ( S , RR , < ) e. NN )
12	11	nnred 11035	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. R ) -> inf ( S , RR , < ) e. RR )
13	12	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. c e. R inf ( S , RR , < ) e. RR )
14		fimaxre3 10970	. . 3 |- ( ( R e. Fin /\ A. c e. R inf ( S , RR , < ) e. RR ) -> E. x e. RR A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x )
15	1, 13, 14	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x )
16		vdwnn.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : NN --> R )
17		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
18		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : NN --> R /\ 1 e. NN ) -> ( F ` 1 ) e. R )
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. R )
20		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` 1 ) e. R -> R =/= (/) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R =/= (/) )
22	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> R =/= (/) )
23		r19.2z 4060	. . . . . . 7 |- ( ( R =/= (/) /\ A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x ) -> E. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x )
24	23	ex 450	. . . . . 6 |- ( R =/= (/) -> ( A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x -> E. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x -> E. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x ) )
26		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> x e. RR )
27		fllep1 12602	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
29	12	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> inf ( S , RR , < ) e. RR )
30	26	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
31	30	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ )
32	31	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
33		letr 10131	. . . . . . . . . 10 |- ( (inf ( S , RR , < ) e. RR /\ x e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> ( (inf ( S , RR , < ) <_ x /\ x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> inf ( S , RR , < ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
34	29, 26, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> ( (inf ( S , RR , < ) <_ x /\ x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> inf ( S , RR , < ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
35	28, 34	mpan2d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> (inf ( S , RR , < ) <_ x -> inf ( S , RR , < ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
36	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> inf ( S , RR , < ) e. NN )
37	36	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> inf ( S , RR , < ) e. ZZ )
38		eluz 11701	. . . . . . . . . 10 |- ( (inf ( S , RR , < ) e. ZZ /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` inf ( S , RR , < ) ) <-> inf ( S , RR , < ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
39	37, 31, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` inf ( S , RR , < ) ) <-> inf ( S , RR , < ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
40		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> ph )
41	10	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> inf ( S , RR , < ) e. S )
42	1, 16, 2	vdwnnlem2 15700	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` inf ( S , RR , < ) ) ) -> (inf ( S , RR , < ) e. S -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S ) )
43	42	impancom 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ inf ( S , RR , < ) e. S ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` inf ( S , RR , < ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S ) )
44	40, 41, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` inf ( S , RR , < ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S ) )
45	39, 44	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> (inf ( S , RR , < ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S ) )
46	35, 45	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> (inf ( S , RR , < ) <_ x -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S ) )
47	4	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN )
48	47	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 )
49	46, 48	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> (inf ( S , RR , < ) <_ x -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 ) )
50	49	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 ) )
51	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 ) -> R e. Fin )
52	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 ) -> F : NN --> R )
53		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 )
54		vdwnnlem1 15699	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 ) -> E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 ) -> E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
56	55	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 -> E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN0 -> E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
58	25, 50, 57	3syld 60	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x -> E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) )
61	60	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
62	61	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
63	62	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
64	63, 2	elrab2 3366	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S <-> ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. NN /\ -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
65	64	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. S -> -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
66	46, 65	syl6 35	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ c e. R ) -> (inf ( S , RR , < ) <_ x -> -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
67	66	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x -> A. c e. R -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
68		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. c e. R -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> -. E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
69	67, 68	syl6ib 241	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x -> -. E. c e. R E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
70	58, 69	pm2.65d 187	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -. A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x )
71	70	nrexdv 3001	. 2 |- ( ph -> -. E. x e. RR A. c e. R inf ( S , RR , < ) <_ x )
72	15, 71	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-hash 13118  df-vdwap 15672  df-vdwmc 15673  df-vdwpc 15674

This theorem is referenced by:  vdwnn  15702