Theorem vitalilem3 23379

Description: Lemma for vitali 23382. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vitali.1	|- .~ = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( x - y ) e. QQ ) }
vitali.2	|- S = ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ )
vitali.3	|- ( ph -> F Fn S )
vitali.4	|- ( ph -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
vitali.5	|- ( ph -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
vitali.6	|- T = ( n e. NN |-> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } )
vitali.7	|- ( ph -> -. ran F e. ( ~P RR \ dom vol ) )

Assertion

Ref	Expression
vitalilem3	|- ( ph -> Disj m e. NN ( T ` m ) )

Distinct variable groups:   m, n, s, x, y, z, G   ph, m, n, x, z   z, S   T, m, x   m, F, n, s, x, y, z   .~ , m, n, s, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, s)   S( x, y, m, n, s)   T( y, z, n, s)

Proof of Theorem vitalilem3

Dummy variables k v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprlr 803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. ( T ` m ) )
2		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> m e. NN )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( G ` n ) = ( G ` m ) )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( s - ( G ` n ) ) = ( s - ( G ` m ) ) )
5	4	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( s - ( G ` n ) ) e. ran F <-> ( s - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
6	5	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
7		vitali.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( n e. NN |-> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } )
8		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
9	8	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } e. _V
10	6, 7, 9	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( T ` m ) = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( T ` m ) = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
12	1, 11	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( s - ( G ` m ) ) = ( w - ( G ` m ) ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = w -> ( ( s - ( G ` m ) ) e. ran F <-> ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
15	14	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } <-> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
16	12, 15	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. RR )
18	17	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. CC )
19		vitali.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
20		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) -> G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
22		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) C_ QQ
23		fss 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) /\ ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) C_ QQ ) -> G : NN --> QQ )
24	21, 22, 23	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> QQ )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN --> QQ )
26	25, 2	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) e. QQ )
27		qcn 11802	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` m ) e. QQ -> ( G ` m ) e. CC )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
29		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> k e. NN )
30	25, 29	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. QQ )
31		qcn 11802	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` k ) e. QQ -> ( G ` k ) e. CC )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
33		vitali.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- .~ = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( x - y ) e. QQ ) }
34	33	vitalilem1 23376	. . . . . . . . . . . 12 |- .~ Er ( 0 [,] 1 )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> .~ Er ( 0 [,] 1 ) )
36		vitali.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S = ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ )
37		vitali.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F Fn S )
38		vitali.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
39		vitali.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. ran F e. ( ~P RR \ dom vol ) )
40	33, 36, 37, 38, 19, 7, 39	vitalilem2 23378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ran F C_ ( 0 [,] 1 ) /\ ( 0 [,] 1 ) C_ U_ m e. NN ( T ` m ) /\ U_ m e. NN ( T ` m ) C_ ( -u 1 [,] 2 ) ) )
41	40	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran F C_ ( 0 [,] 1 ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ran F C_ ( 0 [,] 1 ) )
43	16	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) e. ran F )
44	42, 43	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. ( T ` k ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = k -> ( s - ( G ` n ) ) = ( s - ( G ` k ) ) )
48	47	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = k -> ( ( s - ( G ` n ) ) e. ran F <-> ( s - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
49	48	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
50	8	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } e. _V
51	49, 7, 50	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( T ` k ) = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
52	29, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( T ` k ) = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
53	45, 52	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
54		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = w -> ( s - ( G ` k ) ) = ( w - ( G ` k ) ) )
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = w -> ( ( s - ( G ` k ) ) e. ran F <-> ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
56	55	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } <-> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
57	53, 56	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
58	57	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` k ) ) e. ran F )
59	42, 58	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
60	44, 59	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
61	18, 28, 32	nnncan1d 10426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) = ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) )
62		qsubcl 11807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` k ) e. QQ /\ ( G ` m ) e. QQ ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) e. QQ )
63	30, 26, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) e. QQ )
64	61, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ )
65		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( w - ( G ` m ) ) /\ y = ( w - ( G ` k ) ) ) -> ( x - y ) = ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) )
66	65	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( w - ( G ` m ) ) /\ y = ( w - ( G ` k ) ) ) -> ( ( x - y ) e. QQ <-> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ ) )
67	66, 33	brab2a 5194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w - ( G ` m ) ) .~ ( w - ( G ` k ) ) <-> ( ( ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ ) )
68	60, 64, 67	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) .~ ( w - ( G ` k ) ) )
69	35, 68	erthi 7793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ = [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [ v ] .~ = w -> ( F ` [ v ] .~ ) = ( F ` w ) )
72	71	eceq1d 7783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [ v ] .~ = w -> [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ = [ ( F ` w ) ] .~ )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [ v ] .~ = w -> ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) )
74	73, 71	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [ v ] .~ = w -> ( ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ v ] .~ ) <-> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
75	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> .~ Er ( 0 [,] 1 ) )
76		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
77		erex 7766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .~ Er ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 0 [,] 1 ) e. _V -> .~ e. _V ) )
78	34, 76, 77	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- .~ e. _V
79	78	ecelqsi 7803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) -> [ v ] .~ e. ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ ) )
80	79, 36	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) -> [ v ] .~ e. S )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ e. S )
82	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> v e. ( 0 [,] 1 ) )
84		erdm 7752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .~ Er ( 0 [,] 1 ) -> dom .~ = ( 0 [,] 1 ) )
85	34, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom .~ = ( 0 [,] 1 )
86	85	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. dom .~ <-> v e. ( 0 [,] 1 ) )
87		ecdmn0 7789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. dom .~ <-> [ v ] .~ =/= (/) )
88	86, 87	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) <-> [ v ] .~ =/= (/) )
89	83, 88	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ =/= (/) )
90		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = [ v ] .~ -> ( z =/= (/) <-> [ v ] .~ =/= (/) ) )
91		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = [ v ] .~ -> ( F ` z ) = ( F ` [ v ] .~ ) )
92		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = [ v ] .~ -> z = [ v ] .~ )
93	91, 92	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = [ v ] .~ -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) )
94	90, 93	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = [ v ] .~ -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( [ v ] .~ =/= (/) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) ) )
95	94	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ v ] .~ e. S -> ( A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> ( [ v ] .~ =/= (/) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) ) )
96	81, 82, 89, 95	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ )
97		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` [ v ] .~ ) e. _V
98		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- v e. _V
99	97, 98	elec 7786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ <-> v .~ ( F ` [ v ] .~ ) )
100	96, 99	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> v .~ ( F ` [ v ] .~ ) )
101	75, 100	erthi 7793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ = [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ )
102	101	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ = [ v ] .~ )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ v ] .~ ) )
104	36, 74, 103	ectocld 7814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. S ) -> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) )
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) )
106		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` w ) -> [ z ] .~ = [ ( F ` w ) ] .~ )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` w ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) )
108		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` w ) -> z = ( F ` w ) )
109	107, 108	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( F ` w ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
110	109	ralrn 6362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn S -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
111	37, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
112	105, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z )
114		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> [ z ] .~ = [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) )
116		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> z = ( w - ( G ` m ) ) )
117	115, 116	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) ) )
118	117	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w - ( G ` m ) ) e. ran F -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) ) )
119	43, 113, 118	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) )
120		eceq1 7782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> [ z ] .~ = [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ )
121	120	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) )
122		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> z = ( w - ( G ` k ) ) )
123	121, 122	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) ) )
124	123	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w - ( G ` k ) ) e. ran F -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z -> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) ) )
125	58, 113, 124	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) )
126	70, 119, 125	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) = ( w - ( G ` k ) ) )
127	18, 28, 32, 126	subcand 10433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
128	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
129		f1of1 6136	. . . . . . . . 9 |- ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) -> G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
131		f1fveq 6519	. . . . . . . 8 |- ( ( G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) /\ ( m e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( G ` m ) = ( G ` k ) <-> m = k ) )
132	130, 2, 29, 131	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( G ` m ) = ( G ` k ) <-> m = k ) )
133	127, 132	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> m = k )
134	133	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
135	134	alrimivv 1856	. . . 4 |- ( ph -> A. m A. k ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
136		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( m e. NN <-> k e. NN ) )
137		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( T ` m ) = ( T ` k ) )
138	137	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( w e. ( T ` m ) <-> w e. ( T ` k ) ) )
139	136, 138	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) <-> ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) )
140	139	mo4 2517	. . . 4 |- ( E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) <-> A. m A. k ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
141	135, 140	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
142	141	alrimiv 1855	. 2 |- ( ph -> A. w E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
143		dfdisj2 4622	. 2 |- (Disj m e. NN ( T ` m ) <-> A. w E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
144	142, 143	sylibr 224	1 |- ( ph -> Disj m e. NN ( T ` m ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   QQcq 11788   [,]cicc 12178   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-q 11789  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  vitalilem4  23380