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Theorem volinun 23314
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) = ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A u. B ) ) ) )
Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 4046 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) = A
21fveq2i 6194 . . . 4 |- ( vol ` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( vol ` A )
3 inmbl 23310 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( A i^i B ) e. dom vol )
43adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( A i^i B ) e. dom vol )
5 difmbl 23311 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( A \ B ) e. dom vol )
65adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( A \ B ) e. dom vol )
7 indifcom 3872 . . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) i^i ( A \ B ) ) = ( A i^i ( ( A i^i B ) \ B ) )
8 difin0 4041 . . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) \ B ) = (/)
98ineq2i 3811 . . . . . . . 8 |- ( A i^i ( ( A i^i B ) \ B ) ) = ( A i^i (/) )
10 in0 3968 . . . . . . . 8 |- ( A i^i (/) ) = (/)
119, 10eqtri 2644 . . . . . . 7 |- ( A i^i ( ( A i^i B ) \ B ) ) = (/)
127, 11eqtri 2644 . . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) i^i ( A \ B ) ) = (/)
1312a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( A i^i B ) i^i ( A \ B ) ) = (/) )
14 mblvol 23298 . . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i B ) ) = ( vol* ` ( A i^i B ) ) )
154, 14syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A i^i B ) ) = ( vol* ` ( A i^i B ) ) )
16 inss1 3833 . . . . . . . 8 |- ( A i^i B ) C_ A
1716a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( A i^i B ) C_ A )
18 mblss 23299 . . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
1918ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> A C_ RR )
20 mblvol 23298 . . . . . . . . 9 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
2120ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
22 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` A ) e. RR )
2321, 22eqeltrrd 2702 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
24 ovolsscl 23254 . . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i B ) C_ A /\ A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) e. RR )
2517, 19, 23, 24syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) e. RR )
2615, 25eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A i^i B ) ) e. RR )
27 mblvol 23298 . . . . . . 7 |- ( ( A \ B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A \ B ) ) = ( vol* ` ( A \ B ) ) )
286, 27syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A \ B ) ) = ( vol* ` ( A \ B ) ) )
29 difssd 3738 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( A \ B ) C_ A )
30 ovolsscl 23254 . . . . . . 7 |- ( ( ( A \ B ) C_ A /\ A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A \ B ) ) e. RR )
3129, 19, 23, 30syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A \ B ) ) e. RR )
3228, 31eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A \ B ) ) e. RR )
33 volun 23313 . . . . 5 |- ( ( ( ( A i^i B ) e. dom vol /\ ( A \ B ) e. dom vol /\ ( ( A i^i B ) i^i ( A \ B ) ) = (/) ) /\ ( ( vol ` ( A i^i B ) ) e. RR /\ ( vol ` ( A \ B ) ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A \ B ) ) ) )
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1334 . . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( ( A i^i B ) u. ( A \ B ) ) ) = ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A \ B ) ) ) )
352, 34syl5eqr 2670 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` A ) = ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A \ B ) ) ) )
3635oveq1d 6665 . 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) = ( ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A \ B ) ) ) + ( vol ` B ) ) )
3726recnd 10068 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A i^i B ) ) e. CC )
3832recnd 10068 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A \ B ) ) e. CC )
39 simprr 796 . . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` B ) e. RR )
4039recnd 10068 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` B ) e. CC )
4137, 38, 40addassd 10062 . 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A \ B ) ) ) + ( vol ` B ) ) = ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( ( vol ` ( A \ B ) ) + ( vol ` B ) ) ) )
42 undif1 4043 . . . . 5 |- ( ( A \ B ) u. B ) = ( A u. B )
4342fveq2i 6194 . . . 4 |- ( vol ` ( ( A \ B ) u. B ) ) = ( vol ` ( A u. B ) )
44 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> B e. dom vol )
45 incom 3805 . . . . . . 7 |- ( ( A \ B ) i^i B ) = ( B i^i ( A \ B ) )
46 disjdif 4040 . . . . . . 7 |- ( B i^i ( A \ B ) ) = (/)
4745, 46eqtri 2644 . . . . . 6 |- ( ( A \ B ) i^i B ) = (/)
4847a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( A \ B ) i^i B ) = (/) )
49 volun 23313 . . . . 5 |- ( ( ( ( A \ B ) e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( ( A \ B ) i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` ( A \ B ) ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( ( A \ B ) u. B ) ) = ( ( vol ` ( A \ B ) ) + ( vol ` B ) ) )
506, 44, 48, 32, 39, 49syl32anc 1334 . . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( ( A \ B ) u. B ) ) = ( ( vol ` ( A \ B ) ) + ( vol ` B ) ) )
5143, 50syl5reqr 2671 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol ` ( A \ B ) ) + ( vol ` B ) ) = ( vol ` ( A u. B ) ) )
5251oveq2d 6666 . 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( ( vol ` ( A \ B ) ) + ( vol ` B ) ) ) = ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A u. B ) ) ) )
5336, 41, 523eqtrd 2660 1 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) = ( ( vol ` ( A i^i B ) ) + ( vol ` ( A u. B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   vol*covol 23231   volcvol 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233  df-vol 23234
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