Theorem ovolsscl 23254

Description: If a set is contained in another of bounded measure, it too is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolsscl	|- ( ( A C_ B /\ B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` A ) e. RR )

Proof of Theorem ovolsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3611	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR ) -> A C_ RR )
2	1	3adant3 1081	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> A C_ RR )
3		simp3 1063	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` B ) e. RR )
4		ovolss 23253	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR ) -> ( vol* ` A ) <_ ( vol* ` B ) )
5	4	3adant3 1081	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` A ) <_ ( vol* ` B ) )
6		ovollecl 23251	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ ( vol* ` B ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1326	1 |- ( ( A C_ B /\ B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   <_ cle 10075   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ismbl2  23295  cmmbl  23302  nulmbl  23303  nulmbl2  23304  unmbl  23305  volinun  23314  voliunlem1  23318  voliunlem2  23319  volsup  23324  ioombl1lem4  23329  ioombl1  23330  ovolioo  23336  uniioombllem2  23351  uniioombllem3  23353  uniioombllem4  23354  uniioombllem5  23355  uniioombllem6  23356  uniioombl  23357  volcn  23374  vitalilem4  23380  i1fima2  23446  i1fadd  23462  i1fmul  23463  itg1addlem2  23464  i1fres  23472  itg1climres  23481  mbfi1fseqlem4  23485  ftc1lem4  23802  mblfinlem3  33448  mblfinlem4  33449  ismblfin  33450  itg2addnclem2  33462  ftc1cnnclem  33483  ismbl3  40203