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Theorem wwlksnred 26787

Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
wwlksnred	WWalksN substr WWalksN

Proof of Theorem wwlksnred Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11333	. . 3
2		iswwlksn 26730	. . 3 WWalksN WWalks $/\$
3	1, 2	syl 17	. 2 WWalksN WWalks $/\$
4		eqid 2622	. . . . 5 Vtx Vtx
5		eqid 2622	. . . . 5 Edg Edg
6	4, 5	iswwlks 26728	. . . 4 WWalks $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg
7		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$ Word Vtx
8		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$
10	1	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15
11	10	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . 14
12	11	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$
13		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14
14	13	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$
15	12, 14	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$
16		swrdn0 13430	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$ substr
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ $/\$ substr
18	17	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 Word Vtx substr
19	18	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg substr
20	19	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr
21	20	impcom 446	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr
22		swrdcl 13419	. . . . . . . . . 10 Word Vtx substr Word Vtx
23	22	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg substr Word Vtx
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr Word Vtx
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr Word Vtx
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27	1	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
28		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	27, 28	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30	26, 29	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^ ..^
32	31	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ ..^ Edg ..^ Edg
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ Edg
34		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
35		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
37		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
38	37	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
39	34, 36, 38	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
40	39	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word Vtx $/\$ $/\$
43		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
45		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^ ..^ Edg ..^ Edg
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ Edg
47		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word Vtx $/\$ $/\$ Word Vtx
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Word Vtx
49		nn0fz0 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
50	1, 49	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
51	50	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Word Vtx $/\$ $/\$
52		fzelp1 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word Vtx $/\$ $/\$
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
55	54	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word Vtx $/\$ $/\$
58	53, 57	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word Vtx $/\$ $/\$
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^
60		fzossfzop1 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ ..^
61	60	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ ..^
62	61	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
63	62	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
64		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
65	48, 59, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
66	65	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
67		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^
69		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^
70	69	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
71	34, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^
72	71	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
73	72	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
75	68, 74	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
76		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
77	48, 59, 75, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
78	77	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
79	66, 78	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr substr
80	79	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg substr substr Edg
81	80	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg substr substr Edg
82	81	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
83	46, 82	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
84	33, 83	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
85	84	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
86		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	86, 28	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
89	88	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ ..^
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ ..^
91	90	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg ..^ substr substr Edg
92	85, 91	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
93	1	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$
94		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$
96		swrd0len0 13436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word Vtx $/\$ $/\$ substr
97	47, 93, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx $/\$ $/\$ substr
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word Vtx $/\$ $/\$ substr
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr ..^
100	99	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr substr substr Edg ..^ substr substr Edg
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg ..^ substr substr Edg
102	92, 101	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg
103	102	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr substr Edg
104	103	com23 86	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr substr Edg
105	104	imp 445	. . . . . . . . . 10 Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr substr Edg
106	105	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr substr Edg
107	106	expdimp 453	. . . . . . . 8 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr substr Edg
108	107	impcom 446	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr substr Edg
109	4, 5	iswwlks 26728	. . . . . . 7 substr WWalks substr $/\$ substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg
110	21, 25, 108, 109	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr WWalks
111		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112	1, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
113		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
114	1, 112, 11, 113	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . 14
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116	115, 56	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
117	116	anim2i 593	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$
118	117	exp32 631	. . . . . . . . . 10 Word Vtx Word Vtx $/\$
119	118	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg Word Vtx $/\$
120	119	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ Word Vtx $/\$
121	120	impcom 446	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ Word Vtx $/\$
122		swrd0len 13422	. . . . . . 7 Word Vtx $/\$ substr
123	121, 122	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr
124		iswwlksn 26730	. . . . . . 7 substr WWalksN substr WWalks $/\$ substr
125	124	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr WWalksN substr WWalks $/\$ substr
126	110, 123, 125	mpbir2and 957	. . . . 5 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr WWalksN
127	126	expcom 451	. . . 4 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr WWalksN
128	6, 127	sylanb 489	. . 3 WWalks $/\$ substr WWalksN
129	128	com12 32	. 2 WWalks $/\$ substr WWalksN
130	3, 129	sylbid 230	1 WWalksN substr WWalksN

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wss 3574

c0 3915

cpr 4179

cop 4183 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 substr csubstr 13295 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 WWalkscwwlks 26717 WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-substr 13303 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by: wwlksnextbi 26789 wwlksnredwwlkn 26790

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