Theorem fzval3 12536

Description: Expressing a closed integer range as a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzval3	|- ( N e. ZZ -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem fzval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 11418	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
2		fzoval 12471	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( M..^ ( N + 1 ) ) = ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( M..^ ( N + 1 ) ) = ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
4		zcn 11382	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
6		pncan 10287	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
8	7	oveq2d 6666	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( M ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... N ) )
9	3, 8	eqtr2d 2657	1 |- ( N e. ZZ -> ( M ... N ) = ( M..^ ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  fz0add1fz1  12537  fzosn  12538  fzofzp1  12565  fzisfzounsn  12580  ffz0iswrd  13332  fzosump1  14481  telfsum  14536  telfsum2  14537  sadadd  15189  sadass  15193  smuval2  15204  smumul  15215  prmgaplem7  15761  volsup  23324  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlem2  25179  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0flb  25199  selberg2lem  25239  logdivbnd  25245  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntlemr  25291  wlkdlem1  26579  wwlksnred  26787  clwlksfclwwlk2wrd  26958  clwlksf1clwwlklem3  26967  1wlkdlem1  26997  eupth2lem3  27096  f1ocnt  29559  lmat22det  29888  meascnbl  30282  fibp1  30463  signsplypnf  30627  fsum2dsub  30685  mblfinlem2  33447  itgspltprt  40195  fourierdlem20  40344  carageniuncllem1  40735  smfmullem2  40999  iccpartgtprec  41356  fargshiftfo  41378  sbgoldbo  41675  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414