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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > wwlksnext | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: Extension of a walk (as word) by adding an edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Revised by AV, 16-Apr-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| wwlksnext.v |
    Vtx   |
| wwlksnext.e |
 Edg |
| Ref | Expression |
|---|---|
| wwlksnext |
   WWalksN ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
 lastS  
 ++       WWalksN |
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | wwlksnext.v |
. . . 4
Vtx | |
| 2 | 1 | wwlknbp 26733 |
. . 3
WWalksN
 
Word |
| 3 | wwlksnext.e |
. . . . . . . . . . . 12
Edg | |
| 4 | 1, 3 | wwlknp 26734 |
. . . . . . . . . . 11
WWalksN
Word    ..^ |
| 5 | simp1 1061 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
..^ Word | |
| 6 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
lastS
| |
| 7 | cats1un 13475 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
++  | |
| 8 | 5, 6, 7 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word ..^
lastS ++ |
| 9 | opex 4932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 10 | 9 | snnz 4309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  |
| 11 | 10 | neii 2796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 |
| 12 | 11 | intnan 960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 13 | df-ne 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 14 | un00 4011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 15 | 13, 14 | xchbinxr 325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 16 | 12, 15 | mpbir 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 17 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word ..^
lastS |
| 18 | 8, 17 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word ..^
lastS ++ |
| 19 | s1cl 13382 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word
| |
| 20 | 19 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
lastS Word |
| 21 | ccatcl 13359 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word Word ++
Word | |
| 22 | 5, 20, 21 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word ..^
lastS ++ Word |
| 23 | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Word
..^
Word | |
| 24 | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Word
| |
| 25 | 24 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Word
..^
|
| 26 | fzossfzop1 12545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
..^  ..^ | |
| 27 | 26 | sseld 3602 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
..^
..^ |
| 28 | 27 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Word
..^ ..^ |
| 29 | 28 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Word
..^ ..^ |
| 30 | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
..^ ..^ | |
| 31 | 30 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
..^
..^ |
| 32 | 31 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Word ..^
..^ |
| 33 | 32 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Word
..^ ..^
..^ |
| 34 | 29, 33 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Word
..^ ..^ |
| 35 | ccats1val1 13403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Word
..^ ++ | |
| 36 | 23, 25, 34, 35 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Word
..^ ++ |
| 37 | 36 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Word
..^ ++ |
| 38 | fzonn0p1p1 12546 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
..^
..^ | |
| 39 | 38 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Word
..^ ..^ |
| 40 | 30 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Word ..^ ..^ |
| 41 | 40 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Word
..^ ..^ ..^ |
| 42 | 39, 41 | eleqtrrd 2704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Word
..^ ..^ |
| 43 | ccats1val1 13403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Word
..^ ++ | |
| 44 | 23, 25, 42, 43 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Word
..^ ++ |
| 45 | 44 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Word
..^ ++ |
| 46 | 37, 45 | preq12d 4276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word
..^ ++ ++ |
| 47 | 46 | exp41 638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Word ..^ ++ ++ |
| 48 | 47 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
lastS
Word ..^ ++ ++ |
| 49 | 48 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
lastS Word ..^ ++ ++ |
| 50 | 49 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Word
lastS
..^ ++ ++ |
| 51 | 50 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Word
lastS
..^
++ ++ |
| 52 | 51 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Word
lastS
..^
++ ++ |
| 53 | 52 | ralbidva 2985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Word
lastS
..^
..^ ++ ++ |
| 54 | 53 | biimpd 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Word
lastS
..^ ..^ ++ ++ |
| 55 | 54 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word
lastS
..^ ..^ ++ ++ |
| 56 | 55 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word ..^
lastS
..^ ++ ++ |
| 57 | 56 | 3impia 1261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word
..^ lastS
..^ ++ ++ |
| 58 | 57 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ..^
lastS
..^ ++ ++ |
| 59 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
 | |
| 60 | 59 | ad2antll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Word
|
| 61 | nn0cn 11302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
 | |
| 62 | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
| |
| 63 | pncan 10287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
| |
| 64 | 61, 62, 63 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 65 | 64 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Word
|
| 66 | 60, 65 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word
|
| 67 | 66 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Word
|
| 68 | lsw 13351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word lastS | |
| 69 | 68 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Word
lastS |
| 70 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word
Word | |
| 71 | fzonn0p1 12544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
..^ | |
| 72 | 71 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Word
..^ |
| 73 | 30 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
..^
..^ |
| 74 | 73 | ad2antll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Word
..^
..^ |
| 75 | 72, 74 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word
..^ |
| 76 | ccats1val1 13403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word
..^ ++ | |
| 77 | 70, 24, 75, 76 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Word
++ |
| 78 | 67, 69, 77 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Word
lastS ++ |
| 79 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Word | |
| 80 | 79 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Word |
| 81 | 80 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word
|
| 82 | ccats1val2 13404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Word
++ | |
| 83 | 70, 24, 81, 82 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Word
++ |
| 84 | 83 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Word
++ |
| 85 | 78, 84 | preq12d 4276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Word
lastS
++ ++ |
| 86 | 85 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Word
lastS ++ ++
|
| 87 | 86 | biimpcd 239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
lastS
Word ++ ++ |
| 88 | 87 | exp4c 636 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
lastS Word ++ ++ |
| 89 | 88 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
lastS
Word ++ ++ |
| 90 | 89 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
lastS Word ++ ++ |
| 91 | 90 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word
lastS
++ ++ |
| 92 | 91 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word
..^ lastS ++ ++ |
| 93 | 92 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ..^
lastS ++ ++ |
| 94 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
++ ++ | |
| 95 | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 96 | 95 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
++ ++ |
| 97 | 94, 96 | preq12d 4276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
++ ++ ++ ++ |
| 98 | 97 | eleq1d 2686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
++ ++
++ ++ |
| 99 | 98 | ralsng 4218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
++ ++
++ ++ |
| 100 | 99 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ..^
lastS ++ ++ ++ ++
|
| 101 | 93, 100 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ..^
lastS
++ ++ |
| 102 | ralunb 3794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ ++ ++
..^ ++ ++ ++ ++ | |
| 103 | 58, 101, 102 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word ..^
lastS
..^ ++ ++ |
| 104 | elnn0uz 11725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 105 | eluzfz2 12349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 106 | 104, 105 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 107 | fzelp1 12393 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 108 | fzosplit 12501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ ..^ ..^ | |
| 109 | 106, 107, 108 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ ..^
|
| 110 | nn0z 11400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 | |
| 111 | fzosn 12538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^ | |
| 112 | 110, 111 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^ |
| 113 | 112 | uneq2d 3767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^ ..^ ..^ |
| 114 | 109, 113 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ ..^ |
| 115 | 114 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ..^
lastS ..^ ..^ |
| 116 | 115 | raleqdv 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word ..^
lastS ..^ ++ ++
..^ ++ ++ |
| 117 | 103, 116 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word ..^
lastS
..^ ++ ++ |
| 118 | ccatlen 13360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word Word ++ | |
| 119 | 5, 20, 118 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word ..^
lastS ++ |
| 120 | 119 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ..^
lastS ++ |
| 121 | simpl2 1065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word ..^
lastS | |
| 122 | s1len 13385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Word ..^
lastS |
| 124 | 121, 123 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Word ..^
lastS |
| 125 | 124 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ..^
lastS |
| 126 | peano2nn0 11333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 127 | 126 | nn0cnd 11353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 128 | pncan 10287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 129 | 127, 62, 128 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 130 | 129 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Word ..^
lastS |
| 131 | 120, 125, 130 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
Word ..^
lastS ++ |
| 132 | 131 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
Word ..^
lastS ..^ ++ ..^ |
| 133 | 132 | raleqdv 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
Word ..^
lastS ..^ ++ ++ ++
..^ ++ ++ |
| 134 | 117, 133 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . 14
Word ..^
lastS
..^ ++ ++ ++ |
| 135 | 18, 22, 134 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word ..^
lastS ++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ |
| 136 | 119, 124 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . 13
Word ..^
lastS ++ |
| 137 | 135, 136 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . 12
Word ..^
lastS ++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 138 | 137 | ex 450 |
. . . . . . . . . . 11
Word
..^ lastS ++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 139 | 4, 138 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
WWalksN
lastS ++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 140 | 139 | expd 452 |
. . . . . . . . 9
WWalksN
lastS
++ ++
Word ..^ ++ ++ ++ ++ |
| 141 | 140 | com12 32 |
. . . . . . . 8
WWalksN
lastS
++ ++
Word ..^ ++ ++ ++ ++ |
| 142 | 141 | adantl 482 |
. . . . . . 7
WWalksN lastS ++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 143 | 142 | imp 445 |
. . . . . 6
WWalksN lastS
++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 144 | iswwlksn 26730 |
. . . . . . . . . 10
++
WWalksN
++
WWalks ++ | |
| 145 | 126, 144 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
++
WWalksN
++
WWalks ++ |
| 146 | 145 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
++ WWalksN
++ WWalks ++ |
| 147 | 1, 3 | iswwlks 26728 |
. . . . . . . . 9
++
WWalks
++
++
Word ..^ ++ ++ ++ |
| 148 | 147 | anbi1i 731 |
. . . . . . . 8
++ WWalks ++ ++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 149 | 146, 148 | syl6bb 276 |
. . . . . . 7
++ WWalksN
++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 150 | 149 | adantr 481 |
. . . . . 6
WWalksN ++ WWalksN
++ ++
Word
..^ ++ ++ ++ ++ |
| 151 | 143, 150 | sylibrd 249 |
. . . . 5
WWalksN lastS
++ WWalksN |
| 152 | 151 | ex 450 |
. . . 4
WWalksN lastS ++
WWalksN |
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. . 3
Word
WWalksN
lastS
++
WWalksN |
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. 2
WWalksN
lastS
++
WWalksN |
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1
WWalksN
lastS
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| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
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| This theorem is referenced by: wwlksnextbi 26789 wwlksnextsur 26795 |
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