Theorem 127prm 41515

Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
127prm	⊢ ;;127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 11309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		7nn 11190	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℕ
6		8nn0 11315	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11311	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 11314	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1lt8 11221	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		2lt10 11680	. . 3 ⊢ 2 < ;10
11		7lt10 11675	. . 3 ⊢ 7 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11538	. 2 ⊢ ;;127 < ;;841
13		2nn 11185	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		1lt10 11681	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 11546	. 2 ⊢ 1 < ;;127
17		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
18		3t2e6 11179	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
19		df-7 11084	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
20	3, 17, 18, 19	dec2dvds 15767	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;127
21		3nn 11186	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
22		1nn 11031	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		3t3e9 11180	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
24	23	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25		9p1e10 11496	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
26	24, 25	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
27		1lt3 11196	. . . 4 ⊢ 1 < 3
28	21, 17, 22, 26, 27	ndvdsi 15136	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;10
29	1, 2, 8	3dvds2dec 15056	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30		1p2e3 11152	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
31	30	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32		7cn 11104	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
33		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
34		7p3e10 11603	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 3) = ;10
35	32, 33, 34	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (3 + 7) = ;10
36	31, 35	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((1 + 2) + 7) = ;10
37	36	breq2i 4661	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ ;10)
38	29, 37	bitri 264	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ;10)
39	28, 38	mtbir 313	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;127
40		2lt5 11202	. . 3 ⊢ 2 < 5
41		5p2e7 11165	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
42	3, 13, 40, 41	dec5dvds2 15769	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;127
43	1, 6	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
44		0nn0 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
45		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
46	1	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
47		5nn0 11312	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
48	32	mulid1i 10042	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		5cn 11100	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
50	49	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
51	48, 50	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52		7p5e12 11607	. . . . 5 ⊢ (7 + 5) = ;12
53	51, 52	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = ;12
54		6nn0 11313	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55		8cn 11106	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
56		8t7e56 11661	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
57	55, 32, 56	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
58		6p1e7 11156	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	47, 54, 1, 57, 58	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 1) = ;57
60	1, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((7 · ;18) + 1) = ;;127
61		1lt7 11214	. . 3 ⊢ 1 < 7
62	4, 43, 22, 60, 61	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;127
63	1, 22	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
64	1, 1	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
65		6nn 11189	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
66		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
67	54	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
68	64	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
69	68	mulid1i 10042	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
70		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	70	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
72	69, 71	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = (;11 + 1)
73		1p1e2 11134	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
74	1, 1, 1, 66, 73	decaddi 11579	. . . . 5 ⊢ (;11 + 1) = ;12
75	72, 74	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = ;12
76		6cn 11102	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
77	76, 70, 58	addcomli 10228	. . . . 5 ⊢ (1 + 6) = 7
78	1, 1, 54, 69, 77	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + 6) = ;17
79	1, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((;11 · ;11) + 6) = ;;127
80		6lt10 11676	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
81	22, 1, 54, 80	declti 11546	. . 3 ⊢ 6 < ;11
82	63, 64, 65, 79, 81	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;127
83	1, 21	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 11316	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85		10nn 11514	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
86		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
87		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
88		9cn 11108	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
89	88	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
90	89, 30	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91		9p3e12 11621	. . . . 5 ⊢ (9 + 3) = ;12
92	90, 91	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = ;12
93		9t3e27 11664	. . . . . 6 ⊢ (9 · 3) = ;27
94	88, 33, 93	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (3 · 9) = ;27
95	32	addid1i 10223	. . . . 5 ⊢ (7 + 0) = 7
96	2, 8, 44, 94, 95	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((3 · 9) + 0) = ;27
97	1, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;13 · 9) + ;10) = ;;127
98		3pos 11114	. . . 4 ⊢ 0 < 3
99	1, 44, 21, 98	declt 11530	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
100	83, 84, 85, 97, 99	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;127
101	1, 4	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
102		8nn 11191	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
103		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
104	32	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
105	104	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106	105, 52	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + 5) = ;12
107		7t7e49 11653	. . . . 5 ⊢ (7 · 7) = ;49
108		4p1e5 11154	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
109		9p8e17 11626	. . . . 5 ⊢ (9 + 8) = ;17
110	7, 84, 6, 107, 108, 8, 109	decaddci 11580	. . . 4 ⊢ ((7 · 7) + 8) = ;57
111	1, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110	decrmac 11577	. . 3 ⊢ ((;17 · 7) + 8) = ;;127
112		8lt10 11674	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
113	22, 8, 6, 112	declti 11546	. . 3 ⊢ 8 < ;17
114	101, 8, 102, 111, 113	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;127
115		9nn 11192	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
116	1, 115	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
117		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
118	76	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
119		5p1e6 11155	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
120	49, 70, 119	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
121	118, 120	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122		6p6e12 11602	. . . . 5 ⊢ (6 + 6) = ;12
123	121, 122	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = ;12
124		9t6e54 11667	. . . . 5 ⊢ (9 · 6) = ;54
125		4p3e7 11163	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
126	47, 7, 17, 124, 125	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((9 · 6) + 3) = ;57
127	1, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;19 · 6) + ;13) = ;;127
128		3lt9 11227	. . . 4 ⊢ 3 < 9
129	1, 17, 115, 128	declt 11530	. . 3 ⊢ ;13 < ;19
130	116, 54, 83, 127, 129	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;127
131	2, 21	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
132		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
133		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
134		2cn 11091	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
135		5t2e10 11634	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
136	49, 134, 135	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
137	136, 73	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = (;10 + 2)
138		dec10p 11553	. . . . 5 ⊢ (;10 + 2) = ;12
139	137, 138	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = ;12
140		5t3e15 11635	. . . . . 6 ⊢ (5 · 3) = ;15
141	49, 33, 140	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (3 · 5) = ;15
142	1, 47, 2, 141, 41	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
143	2, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;23 · 5) + ;12) = ;;127
144		1lt2 11194	. . . 4 ⊢ 1 < 2
145	1, 2, 2, 17, 10, 144	decltc 11532	. . 3 ⊢ ;12 < ;23
146	131, 47, 14, 143, 145	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;127
147	5, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146	prmlem2 15827	1 ⊢ ;;127 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  m7prm  41516