Theorem 127prm 41515

Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
127prm	|- ;; 1 2 7 e. Prime

Proof of Theorem 127prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . . 4 |- 1 e. NN0
2		2nn0 11309	. . . 4 |- 2 e. NN0
3	1, 2	deccl 11512	. . 3 |- ; 1 2 e. NN0
4		7nn 11190	. . 3 |- 7 e. NN
5	3, 4	decnncl 11518	. 2 |- ;; 1 2 7 e. NN
6		8nn0 11315	. . 3 |- 8 e. NN0
7		4nn0 11311	. . 3 |- 4 e. NN0
8		7nn0 11314	. . 3 |- 7 e. NN0
9		1lt8 11221	. . 3 |- 1 < 8
10		2lt10 11680	. . 3 |- 2 < ; 1 0
11		7lt10 11675	. . 3 |- 7 < ; 1 0
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11538	. 2 |- ;; 1 2 7 < ;; 8 4 1
13		2nn 11185	. . . 4 |- 2 e. NN
14	1, 13	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 2 e. NN
15		1lt10 11681	. . 3 |- 1 < ; 1 0
16	14, 8, 1, 15	declti 11546	. 2 |- 1 < ;; 1 2 7
17		3nn0 11310	. . 3 |- 3 e. NN0
18		3t2e6 11179	. . 3 |- ( 3 x. 2 ) = 6
19		df-7 11084	. . 3 |- 7 = ( 6 + 1 )
20	3, 17, 18, 19	dec2dvds 15767	. 2 |- -. 2 || ;; 1 2 7
21		3nn 11186	. . . 4 |- 3 e. NN
22		1nn 11031	. . . 4 |- 1 e. NN
23		3t3e9 11180	. . . . . 6 |- ( 3 x. 3 ) = 9
24	23	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 3 x. 3 ) + 1 ) = ( 9 + 1 )
25		9p1e10 11496	. . . . 5 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
26	24, 25	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 3 x. 3 ) + 1 ) = ; 1 0
27		1lt3 11196	. . . 4 |- 1 < 3
28	21, 17, 22, 26, 27	ndvdsi 15136	. . 3 |- -. 3 || ; 1 0
29	1, 2, 8	3dvds2dec 15056	. . . 4 |- ( 3 || ;; 1 2 7 <-> 3 || ( ( 1 + 2 ) + 7 ) )
30		1p2e3 11152	. . . . . . 7 |- ( 1 + 2 ) = 3
31	30	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 2 ) + 7 ) = ( 3 + 7 )
32		7cn 11104	. . . . . . 7 |- 7 e. CC
33		3cn 11095	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
34		7p3e10 11603	. . . . . . 7 |- ( 7 + 3 ) = ; 1 0
35	32, 33, 34	addcomli 10228	. . . . . 6 |- ( 3 + 7 ) = ; 1 0
36	31, 35	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( 1 + 2 ) + 7 ) = ; 1 0
37	36	breq2i 4661	. . . 4 |- ( 3 || ( ( 1 + 2 ) + 7 ) <-> 3 || ; 1 0 )
38	29, 37	bitri 264	. . 3 |- ( 3 || ;; 1 2 7 <-> 3 || ; 1 0 )
39	28, 38	mtbir 313	. 2 |- -. 3 || ;; 1 2 7
40		2lt5 11202	. . 3 |- 2 < 5
41		5p2e7 11165	. . 3 |- ( 5 + 2 ) = 7
42	3, 13, 40, 41	dec5dvds2 15769	. 2 |- -. 5 || ;; 1 2 7
43	1, 6	deccl 11512	. . 3 |- ; 1 8 e. NN0
44		0nn0 11307	. . . 4 |- 0 e. NN0
45		eqid 2622	. . . 4 |- ; 1 8 = ; 1 8
46	1	dec0h 11522	. . . 4 |- 1 = ; 0 1
47		5nn0 11312	. . . 4 |- 5 e. NN0
48	32	mulid1i 10042	. . . . . 6 |- ( 7 x. 1 ) = 7
49		5cn 11100	. . . . . . 7 |- 5 e. CC
50	49	addid2i 10224	. . . . . 6 |- ( 0 + 5 ) = 5
51	48, 50	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 5 ) ) = ( 7 + 5 )
52		7p5e12 11607	. . . . 5 |- ( 7 + 5 ) = ; 1 2
53	51, 52	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 7 x. 1 ) + ( 0 + 5 ) ) = ; 1 2
54		6nn0 11313	. . . . 5 |- 6 e. NN0
55		8cn 11106	. . . . . 6 |- 8 e. CC
56		8t7e56 11661	. . . . . 6 |- ( 8 x. 7 ) = ; 5 6
57	55, 32, 56	mulcomli 10047	. . . . 5 |- ( 7 x. 8 ) = ; 5 6
58		6p1e7 11156	. . . . 5 |- ( 6 + 1 ) = 7
59	47, 54, 1, 57, 58	decaddi 11579	. . . 4 |- ( ( 7 x. 8 ) + 1 ) = ; 5 7
60	1, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59	decma2c 11568	. . 3 |- ( ( 7 x. ; 1 8 ) + 1 ) = ;; 1 2 7
61		1lt7 11214	. . 3 |- 1 < 7
62	4, 43, 22, 60, 61	ndvdsi 15136	. 2 |- -. 7 || ;; 1 2 7
63	1, 22	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
64	1, 1	deccl 11512	. . 3 |- ; 1 1 e. NN0
65		6nn 11189	. . 3 |- 6 e. NN
66		eqid 2622	. . . 4 |- ; 1 1 = ; 1 1
67	54	dec0h 11522	. . . 4 |- 6 = ; 0 6
68	64	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- ; 1 1 e. CC
69	68	mulid1i 10042	. . . . . 6 |- (; 1 1 x. 1 ) = ; 1 1
70		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
71	70	addid2i 10224	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
72	69, 71	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( (; 1 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = (; 1 1 + 1 )
73		1p1e2 11134	. . . . . 6 |- ( 1 + 1 ) = 2
74	1, 1, 1, 66, 73	decaddi 11579	. . . . 5 |- (; 1 1 + 1 ) = ; 1 2
75	72, 74	eqtri 2644	. . . 4 |- ( (; 1 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ; 1 2
76		6cn 11102	. . . . . 6 |- 6 e. CC
77	76, 70, 58	addcomli 10228	. . . . 5 |- ( 1 + 6 ) = 7
78	1, 1, 54, 69, 77	decaddi 11579	. . . 4 |- ( (; 1 1 x. 1 ) + 6 ) = ; 1 7
79	1, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78	decma2c 11568	. . 3 |- ( (; 1 1 x. ; 1 1 ) + 6 ) = ;; 1 2 7
80		6lt10 11676	. . . 4 |- 6 < ; 1 0
81	22, 1, 54, 80	declti 11546	. . 3 |- 6 < ; 1 1
82	63, 64, 65, 79, 81	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 1 || ;; 1 2 7
83	1, 21	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 3 e. NN
84		9nn0 11316	. . 3 |- 9 e. NN0
85		10nn 11514	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
86		eqid 2622	. . . 4 |- ; 1 3 = ; 1 3
87		eqid 2622	. . . 4 |- ; 1 0 = ; 1 0
88		9cn 11108	. . . . . . 7 |- 9 e. CC
89	88	mulid2i 10043	. . . . . 6 |- ( 1 x. 9 ) = 9
90	89, 30	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 9 ) + ( 1 + 2 ) ) = ( 9 + 3 )
91		9p3e12 11621	. . . . 5 |- ( 9 + 3 ) = ; 1 2
92	90, 91	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 1 x. 9 ) + ( 1 + 2 ) ) = ; 1 2
93		9t3e27 11664	. . . . . 6 |- ( 9 x. 3 ) = ; 2 7
94	88, 33, 93	mulcomli 10047	. . . . 5 |- ( 3 x. 9 ) = ; 2 7
95	32	addid1i 10223	. . . . 5 |- ( 7 + 0 ) = 7
96	2, 8, 44, 94, 95	decaddi 11579	. . . 4 |- ( ( 3 x. 9 ) + 0 ) = ; 2 7
97	1, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96	decmac 11566	. . 3 |- ( (; 1 3 x. 9 ) + ; 1 0 ) = ;; 1 2 7
98		3pos 11114	. . . 4 |- 0 < 3
99	1, 44, 21, 98	declt 11530	. . 3 |- ; 1 0 < ; 1 3
100	83, 84, 85, 97, 99	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 3 || ;; 1 2 7
101	1, 4	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 7 e. NN
102		8nn 11191	. . 3 |- 8 e. NN
103		eqid 2622	. . . 4 |- ; 1 7 = ; 1 7
104	32	mulid2i 10043	. . . . . 6 |- ( 1 x. 7 ) = 7
105	104	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 7 ) + 5 ) = ( 7 + 5 )
106	105, 52	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 1 x. 7 ) + 5 ) = ; 1 2
107		7t7e49 11653	. . . . 5 |- ( 7 x. 7 ) = ; 4 9
108		4p1e5 11154	. . . . 5 |- ( 4 + 1 ) = 5
109		9p8e17 11626	. . . . 5 |- ( 9 + 8 ) = ; 1 7
110	7, 84, 6, 107, 108, 8, 109	decaddci 11580	. . . 4 |- ( ( 7 x. 7 ) + 8 ) = ; 5 7
111	1, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110	decrmac 11577	. . 3 |- ( (; 1 7 x. 7 ) + 8 ) = ;; 1 2 7
112		8lt10 11674	. . . 4 |- 8 < ; 1 0
113	22, 8, 6, 112	declti 11546	. . 3 |- 8 < ; 1 7
114	101, 8, 102, 111, 113	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 7 || ;; 1 2 7
115		9nn 11192	. . . 4 |- 9 e. NN
116	1, 115	decnncl 11518	. . 3 |- ; 1 9 e. NN
117		eqid 2622	. . . 4 |- ; 1 9 = ; 1 9
118	76	mulid2i 10043	. . . . . 6 |- ( 1 x. 6 ) = 6
119		5p1e6 11155	. . . . . . 7 |- ( 5 + 1 ) = 6
120	49, 70, 119	addcomli 10228	. . . . . 6 |- ( 1 + 5 ) = 6
121	118, 120	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 1 + 5 ) ) = ( 6 + 6 )
122		6p6e12 11602	. . . . 5 |- ( 6 + 6 ) = ; 1 2
123	121, 122	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 1 x. 6 ) + ( 1 + 5 ) ) = ; 1 2
124		9t6e54 11667	. . . . 5 |- ( 9 x. 6 ) = ; 5 4
125		4p3e7 11163	. . . . 5 |- ( 4 + 3 ) = 7
126	47, 7, 17, 124, 125	decaddi 11579	. . . 4 |- ( ( 9 x. 6 ) + 3 ) = ; 5 7
127	1, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126	decmac 11566	. . 3 |- ( (; 1 9 x. 6 ) + ; 1 3 ) = ;; 1 2 7
128		3lt9 11227	. . . 4 |- 3 < 9
129	1, 17, 115, 128	declt 11530	. . 3 |- ; 1 3 < ; 1 9
130	116, 54, 83, 127, 129	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 1 9 || ;; 1 2 7
131	2, 21	decnncl 11518	. . 3 |- ; 2 3 e. NN
132		eqid 2622	. . . 4 |- ; 2 3 = ; 2 3
133		eqid 2622	. . . 4 |- ; 1 2 = ; 1 2
134		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
135		5t2e10 11634	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
136	49, 134, 135	mulcomli 10047	. . . . . 6 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
137	136, 73	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( 2 x. 5 ) + ( 1 + 1 ) ) = (; 1 0 + 2 )
138		dec10p 11553	. . . . 5 |- (; 1 0 + 2 ) = ; 1 2
139	137, 138	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 2 x. 5 ) + ( 1 + 1 ) ) = ; 1 2
140		5t3e15 11635	. . . . . 6 |- ( 5 x. 3 ) = ; 1 5
141	49, 33, 140	mulcomli 10047	. . . . 5 |- ( 3 x. 5 ) = ; 1 5
142	1, 47, 2, 141, 41	decaddi 11579	. . . 4 |- ( ( 3 x. 5 ) + 2 ) = ; 1 7
143	2, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142	decmac 11566	. . 3 |- ( (; 2 3 x. 5 ) + ; 1 2 ) = ;; 1 2 7
144		1lt2 11194	. . . 4 |- 1 < 2
145	1, 2, 2, 17, 10, 144	decltc 11532	. . 3 |- ; 1 2 < ; 2 3
146	131, 47, 14, 143, 145	ndvdsi 15136	. 2 |- -. ; 2 3 || ;; 1 2 7
147	5, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146	prmlem2 15827	1 |- ;; 1 2 7 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077  ;cdc 11493   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  m7prm  41516