Theorem dvferm2lem 23749

Description: Lemma for dvferm 23751. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
dvferm2.z	⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) < 0)
dvferm2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
dvferm2.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
dvferm2.x	⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)

Assertion

Ref	Expression
dvferm2lem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆,𝑧   𝑧,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑇(𝑦)

Proof of Theorem dvferm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
3		ndmioo 12202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
4	3	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
5	1, 2, 4	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
6	5	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝑈 ∧ 𝑈 < 𝐵))
9	8	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < 𝐵)
10		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
11	10, 1	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
13		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑈 < 𝐵 → 𝑈 ≤ 𝐵))
14	12, 6, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < 𝐵 → 𝑈 ≤ 𝐵))
15	9, 14	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐵)
16		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
17	6, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
18		dvferm.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
19	17, 18	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑈) ⊆ 𝑋)
20		dvferm2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)
21		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
23		dvferm2.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
24	23	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
25	11, 24	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*)
27	5	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	26, 27	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ*)
29		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ → -∞ < (𝑈 − 𝑇))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -∞ < (𝑈 − 𝑇))
31		xrmax2 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
32	27, 26, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
33	22, 26, 28, 30, 32	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
34	11, 23	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑈)
35	8	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑈)
36		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 − 𝑇) = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → ((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
37		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) → (𝐴 < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈))
38	36, 37	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑈 − 𝑇) < 𝑈 ∧ 𝐴 < 𝑈) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
39	34, 35, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)
40		xrre2 12001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∧ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈)) → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
41	22, 28, 12, 33, 39, 40	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ)
42	41, 11	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) ∈ ℝ)
44	20, 43	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
46		xrmax1 12006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 − 𝑇) ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
47	27, 26, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴))
48		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
49	41, 11, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2)))
50	39, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2))
51	50, 20	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑆)
52	27, 28, 45, 47, 51	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑆)
53		avglt2 11271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
54	41, 11, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) < 𝑈 ↔ ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈))
55	39, 54	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((if(𝐴 ≤ (𝑈 − 𝑇), (𝑈 − 𝑇), 𝐴) + 𝑈) / 2) < 𝑈)
56	20, 55	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < 𝑈)
57		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑈 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
58	27, 12, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑈)))
59	44, 52, 56, 58	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈))
60	19, 59	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
61	44, 56	ltned 10173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑈)
62		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑆 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ≠ 𝑈))
63	60, 61, 62	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}))
64		dvferm2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
65	44, 11, 56	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝑈)
66	44, 11, 65	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) = (𝑈 − 𝑆))
67	25, 41, 44, 32, 51	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑇) < 𝑆)
68	11, 24, 44, 67	ltsub23d 10632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑆) < 𝑇)
69	66, 68	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)
70	61, 69	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
71		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 ≠ 𝑈 ↔ 𝑆 ≠ 𝑈))
72		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝑧 − 𝑈) = (𝑆 − 𝑈))
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘(𝑧 − 𝑈)) = (abs‘(𝑆 − 𝑈)))
74	73	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇 ↔ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇))
75	71, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) ↔ (𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇)))
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑆))
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
78	77, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
81	80	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → ((abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
82	75, 81	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑆 → (((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ↔ ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
83	82	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑧 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((𝑆 ≠ 𝑈 ∧ (abs‘(𝑆 − 𝑈)) < 𝑇) → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
84	63, 64, 70, 83	syl3c 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
85		dvferm.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
86	85, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
87	18, 1	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑋)
88	85, 87	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
89	86, 88	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ)
90	44, 11	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
91	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
92	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
93	91, 92, 61	subne0d 10401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ≠ 0)
94	89, 90, 93	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∈ ℝ)
95		dvferm.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℝ)
96		dvfre 23714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
97	85, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
98		dvferm.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
99	97, 98	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
100	99	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
101	94, 99, 100	absdifltd 14172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < -((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))))
102	84, 101	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) − -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) ∧ (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
103	102	simprd 479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
104	99	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ)
105	104	negidd 10382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) + -((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) = 0)
106	103, 105	breqtrd 4679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0)
107	94	lt0neg1d 10597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) < 0 ↔ 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈))))
108	106, 107	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)))
109	89	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℂ)
110	90	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 𝑈) ∈ ℂ)
111	109, 110, 93	divneg2d 10815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / (𝑆 − 𝑈)) = (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
112	108, 111	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈)))
113	90	renegcld 10457	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ)
114	44, 11	posdifd 10614	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < 𝑈 ↔ 0 < (𝑈 − 𝑆)))
115	56, 114	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑈 − 𝑆))
116	91, 92	negsubdi2d 10408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝑆 − 𝑈) = (𝑈 − 𝑆))
117	115, 116	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < -(𝑆 − 𝑈))
118		gt0div 10889	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ∈ ℝ ∧ -(𝑆 − 𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < -(𝑆 − 𝑈)) → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
119	89, 113, 117, 118	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) ↔ 0 < (((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)) / -(𝑆 − 𝑈))))
120	112, 119	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈)))
121	88, 86	posdifd 10614	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘𝑈))))
122	120, 121	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
123		dvferm2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈))
124		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
125	124	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
126	125	rspcv 3305	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (𝐴(,)𝑈) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝑈)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑈) → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈)))
127	59, 123, 126	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈))
128	86, 88	lenltd 10183	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) ≤ (𝐹‘𝑈) ↔ ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆)))
129	127, 128	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘𝑆))
130	122, 129	pm2.65i 185	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  abscabs 13974   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvferm2  23750