Theorem dvferm2lem 23749

Description: Lemma for dvferm 23751. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	|- ( ph -> F : X --> RR )
dvferm.b	|- ( ph -> X C_ RR )
dvferm.u	|- ( ph -> U e. ( A (,) B ) )
dvferm.s	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ X )
dvferm.d	|- ( ph -> U e. dom ( RR _D F ) )
dvferm2.r	|- ( ph -> A. y e. ( A (,) U ) ( F ` y ) <_ ( F ` U ) )
dvferm2.z	|- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` U ) < 0 )
dvferm2.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
dvferm2.l	|- ( ph -> A. z e. ( X \ { U } ) ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
dvferm2.x	|- S = ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
dvferm2lem	|- -. ph

Distinct variable groups:   y, z, A   y, B, z   y, F, z   y, U, z   y, X, z   ph, y   y, S, z   z, T

Allowed substitution hints:   ph( z)   T( y)

Proof of Theorem dvferm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U e. ( A (,) B ) )
2		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U e. ( A (,) B ) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
3		ndmioo 12202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = (/) )
4	3	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
5	1, 2, 4	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
6	5	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR* )
7		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. ( A (,) B ) -> ( A < U /\ U < B ) )
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A < U /\ U < B ) )
9	8	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U < B )
10		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A (,) B ) C_ RR
11	10, 1	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U e. RR )
12	11	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> U e. RR* )
13		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( U < B -> U <_ B ) )
14	12, 6, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U < B -> U <_ B ) )
15	9, 14	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U <_ B )
16		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ U <_ B ) -> ( A (,) U ) C_ ( A (,) B ) )
17	6, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) U ) C_ ( A (,) B ) )
18		dvferm.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ X )
19	17, 18	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A (,) U ) C_ X )
20		dvferm2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 )
21		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -oo e. RR*
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -oo e. RR* )
23		dvferm2.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> T e. RR+ )
24	23	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> T e. RR )
25	11, 24	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( U - T ) e. RR )
26	25	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( U - T ) e. RR* )
27	5	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. RR* )
28	26, 27	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) e. RR* )
29		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U - T ) e. RR -> -oo < ( U - T ) )
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -oo < ( U - T ) )
31		xrmax2 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. RR* /\ ( U - T ) e. RR* ) -> ( U - T ) <_ if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) )
32	27, 26, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( U - T ) <_ if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) )
33	22, 26, 28, 30, 32	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -oo < if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) )
34	11, 23	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( U - T ) < U )
35	8	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A < U )
36		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U - T ) = if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) -> ( ( U - T ) < U <-> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U ) )
37		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A = if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) -> ( A < U <-> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U ) )
38	36, 37	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( U - T ) < U /\ A < U ) -> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U )
39	34, 35, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U )
40		xrre2 12001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) e. RR* /\ U e. RR* ) /\ ( -oo < if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) /\ if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U ) ) -> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) e. RR )
41	22, 28, 12, 33, 39, 40	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) e. RR )
42	41, 11	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) e. RR )
43	42	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 ) e. RR )
44	20, 43	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. RR )
45	44	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. RR* )
46		xrmax1 12006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ ( U - T ) e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) )
47	27, 26, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A <_ if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) )
48		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) e. RR /\ U e. RR ) -> ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U <-> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 ) ) )
49	41, 11, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U <-> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 ) ) )
50	39, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 ) )
51	50, 20	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < S )
52	27, 28, 45, 47, 51	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < S )
53		avglt2 11271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) e. RR /\ U e. RR ) -> ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U <-> ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 ) < U ) )
54	41, 11, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) < U <-> ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 ) < U ) )
55	39, 54	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( if ( A <_ ( U - T ) , ( U - T ) , A ) + U ) / 2 ) < U )
56	20, 55	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S < U )
57		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ U e. RR* ) -> ( S e. ( A (,) U ) <-> ( S e. RR /\ A < S /\ S < U ) ) )
58	27, 12, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S e. ( A (,) U ) <-> ( S e. RR /\ A < S /\ S < U ) ) )
59	44, 52, 56, 58	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. ( A (,) U ) )
60	19, 59	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. X )
61	44, 56	ltned 10173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S =/= U )
62		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( X \ { U } ) <-> ( S e. X /\ S =/= U ) )
63	60, 61, 62	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ( X \ { U } ) )
64		dvferm2.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. z e. ( X \ { U } ) ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
65	44, 11, 56	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S <_ U )
66	44, 11, 65	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` ( S - U ) ) = ( U - S ) )
67	25, 41, 44, 32, 51	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U - T ) < S )
68	11, 24, 44, 67	ltsub23d 10632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U - S ) < T )
69	66, 68	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( S - U ) ) < T )
70	61, 69	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) )
71		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = S -> ( z =/= U <-> S =/= U ) )
72		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = S -> ( z - U ) = ( S - U ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = S -> ( abs ` ( z - U ) ) = ( abs ` ( S - U ) ) )
74	73	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = S -> ( ( abs ` ( z - U ) ) < T <-> ( abs ` ( S - U ) ) < T ) )
75	71, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) <-> ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) ) )
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = S -> ( F ` z ) = ( F ` S ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = S -> ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) = ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) )
78	77, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = S -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) = ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = S -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) = ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = S -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
81	80	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> ( ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) <-> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
82	75, 81	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) <-> ( ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
83	82	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( X \ { U } ) -> ( A. z e. ( X \ { U } ) ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) -> ( ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
84	63, 64, 70, 83	syl3c 66	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) )
85		dvferm.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : X --> RR )
86	85, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
87	18, 1	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. X )
88	85, 87	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` U ) e. RR )
89	86, 88	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) e. RR )
90	44, 11	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S - U ) e. RR )
91	44	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. CC )
92	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. CC )
93	91, 92, 61	subne0d 10401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S - U ) =/= 0 )
94	89, 90, 93	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) e. RR )
95		dvferm.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X C_ RR )
96		dvfre 23714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : X --> RR /\ X C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
97	85, 95, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
98		dvferm.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. dom ( RR _D F ) )
99	97, 98	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` U ) e. RR )
100	99	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( RR _D F ) ` U ) e. RR )
101	94, 99, 100	absdifltd 14172	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < -u ( ( RR _D F ) ` U ) <-> ( ( ( ( RR _D F ) ` U ) - -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) /\ ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) < ( ( ( RR _D F ) ` U ) + -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) ) )
102	84, 101	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( RR _D F ) ` U ) - -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) /\ ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) < ( ( ( RR _D F ) ` U ) + -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
103	102	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) < ( ( ( RR _D F ) ` U ) + -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
104	99	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` U ) e. CC )
105	104	negidd 10382	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) ` U ) + -u ( ( RR _D F ) ` U ) ) = 0 )
106	103, 105	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) < 0 )
107	94	lt0neg1d 10597	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) < 0 <-> 0 < -u ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) ) )
108	106, 107	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < -u ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) )
109	89	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) e. CC )
110	90	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S - U ) e. CC )
111	109, 110, 93	divneg2d 10815	. . . . 5 |- ( ph -> -u ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) = ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / -u ( S - U ) ) )
112	108, 111	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / -u ( S - U ) ) )
113	90	renegcld 10457	. . . . 5 |- ( ph -> -u ( S - U ) e. RR )
114	44, 11	posdifd 10614	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S < U <-> 0 < ( U - S ) ) )
115	56, 114	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( U - S ) )
116	91, 92	negsubdi2d 10408	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( S - U ) = ( U - S ) )
117	115, 116	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < -u ( S - U ) )
118		gt0div 10889	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) e. RR /\ -u ( S - U ) e. RR /\ 0 < -u ( S - U ) ) -> ( 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / -u ( S - U ) ) ) )
119	89, 113, 117, 118	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / -u ( S - U ) ) ) )
120	112, 119	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) )
121	88, 86	posdifd 10614	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` U ) < ( F ` S ) <-> 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) ) )
122	120, 121	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` S ) )
123		dvferm2.r	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( A (,) U ) ( F ` y ) <_ ( F ` U ) )
124		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = S -> ( F ` y ) = ( F ` S ) )
125	124	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( y = S -> ( ( F ` y ) <_ ( F ` U ) <-> ( F ` S ) <_ ( F ` U ) ) )
126	125	rspcv 3305	. . . 4 |- ( S e. ( A (,) U ) -> ( A. y e. ( A (,) U ) ( F ` y ) <_ ( F ` U ) -> ( F ` S ) <_ ( F ` U ) ) )
127	59, 123, 126	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> ( F ` S ) <_ ( F ` U ) )
128	86, 88	lenltd 10183	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` S ) <_ ( F ` U ) <-> -. ( F ` U ) < ( F ` S ) ) )
129	127, 128	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> -. ( F ` U ) < ( F ` S ) )
130	122, 129	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvferm2  23750