Theorem ioorcl2 23340

Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ioorcl2	|- ( ( ( A (,) B ) =/= (/) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )

Proof of Theorem ioorcl2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . 3 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) <-> E. z z e. ( A (,) B ) )
2		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( A (,) B ) -> z e. RR )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> z e. RR )
4		peano2re 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) e. RR )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) e. RR )
6	3, 5	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR )
7	6	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR* )
8		eliooxr 12232	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A (,) B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
10	9	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> A e. RR* )
11	3	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> z e. RR* )
12		ltp1 10861	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) < ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) < ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
14		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> 0 e. RR )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR )
16		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A (,) B ) C_ RR
17		ovolge0 23249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A (,) B ) C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> 0 <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
19		lep1 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) <_ ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) <_ ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
21	14, 15, 5, 18, 20	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> 0 <_ ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
22	3, 5	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) <-> ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ z ) )
23	21, 22	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ z )
24		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR /\ z e. RR /\ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ z ) -> ( vol* ` ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) ) = ( z - ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) )
25	6, 3, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) ) = ( z - ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) )
26	3	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> z e. CC )
27	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) e. CC )
28	26, 27	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z - ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) = ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
29	25, 28	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) ) = ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( vol* ` ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) ) = ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
31		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) C_ ( A (,) z ) )
32	10, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) C_ ( A (,) z ) )
33	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> B e. RR* )
34		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( A (,) B ) -> ( A < z /\ z < B ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A < z /\ z < B ) )
36	35	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> z < B )
37		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( z < B -> z <_ B ) )
38	11, 33, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z < B -> z <_ B ) )
39	36, 38	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> z <_ B )
40		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ z <_ B ) -> ( A (,) z ) C_ ( A (,) B ) )
41	33, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A (,) z ) C_ ( A (,) B ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( A (,) z ) C_ ( A (,) B ) )
43	32, 42	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) C_ ( A (,) B ) )
44		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) C_ ( A (,) B ) /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
45	43, 16, 44	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( vol* ` ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) (,) z ) ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
46	30, 45	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
47	46	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) ) )
48		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR* ) -> ( A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <-> -. ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) < A ) )
49	10, 7, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A <_ ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <-> -. ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) < A ) )
50	5, 15	lenltd 10183	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) <-> -. ( vol* ` ( A (,) B ) ) < ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) )
51	47, 49, 50	3imtr3d 282	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( -. ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) < A -> -. ( vol* ` ( A (,) B ) ) < ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) )
52	13, 51	mt4d 152	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) < A )
53	35	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> A < z )
54		xrre2 12001	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR* /\ A e. RR* /\ z e. RR* ) /\ ( ( z - ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) < A /\ A < z ) ) -> A e. RR )
55	7, 10, 11, 52, 53, 54	syl32anc 1334	. . . . . 6 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> A e. RR )
56	3, 5	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR )
57	56	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR* )
58	3, 5	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) <-> z <_ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) )
59	21, 58	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> z <_ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) )
60		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. RR /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR /\ z <_ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) -> ( vol* ` ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) - z ) )
61	3, 56, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) - z ) )
62	26, 27	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) - z ) = ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
63	61, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B ) -> ( vol* ` ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) )
65		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR* /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B ) -> ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) C_ ( z (,) B ) )
66	33, 65	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B ) -> ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) C_ ( z (,) B ) )
67		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( A < z -> A <_ z ) )
68	10, 11, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A < z -> A <_ z ) )
69	53, 68	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> A <_ z )
70		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ z ) -> ( z (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
71	10, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( z (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B ) -> ( z (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
73	66, 72	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B ) -> ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) C_ ( A (,) B ) )
74		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) C_ ( A (,) B ) /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
75	73, 16, 74	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B ) -> ( vol* ` ( z (,) ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
76	64, 75	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B ) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
77	76	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) <_ ( vol* ` ( A (,) B ) ) ) )
78		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B <-> -. B < ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) )
79	57, 33, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) <_ B <-> -. B < ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) )
80	77, 79, 50	3imtr3d 282	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( -. B < ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) -> -. ( vol* ` ( A (,) B ) ) < ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) )
81	13, 80	mt4d 152	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> B < ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) )
82		xrre2 12001	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ B e. RR* /\ ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( z < B /\ B < ( z + ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) + 1 ) ) ) ) -> B e. RR )
83	11, 33, 57, 36, 81, 82	syl32anc 1334	. . . . . 6 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> B e. RR )
84	55, 83	jca 554	. . . . 5 |- ( ( z e. ( A (,) B ) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
85	84	ex 450	. . . 4 |- ( z e. ( A (,) B ) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
86	85	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. z z e. ( A (,) B ) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
87	1, 86	sylbi 207	. 2 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR -> ( A e. RR /\ B e. RR ) ) )
88	87	imp 445	1 |- ( ( ( A (,) B ) =/= (/) /\ ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR ) -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   (,)cioo 12175   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  ioorcl  23345