Theorem itgeq2dv 23548

Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
itgeq2dv	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3		itgeq2 23544	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∫citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  itgmpt  23549  itgneg  23570  itgss2  23579  itgconst  23585  itgaddlem2  23590  itgadd  23591  itgsub  23592  itgfsum  23593  itgmulc2lem2  23599  itgmulc2  23600  itgabs  23601  ftc1lem4  23802  ftc2ditglem  23808  itgparts  23810  itgsubstlem  23811  itgsubst  23812  itgulm  24162  itgulm2  24163  areaval  24691  circlemeth  30718  circlemethnat  30719  circlevma  30720  circlemethhgt  30721  hgt749d  30727  itgaddnclem2  33469  itgaddnc  33470  itgsubnc  33472  itgmulc2nclem2  33477  itgmulc2nc  33478  itgabsnc  33479  ftc1cnnclem  33483  areacirc  33505  itgpowd  37800  areaquad  37802  itgsin0pilem1  40165  itgsinexplem1  40169  itgsinexp  40170  ditgeqiooicc  40176  ditgeq3d  40180  itgcoscmulx  40185  itgsincmulx  40190  itgioocnicc  40193  itgiccshift  40196  itgperiod  40197  wallispilem1  40282  wallispilem2  40283  dirkeritg  40319  fourierdlem16  40340  fourierdlem21  40345  fourierdlem30  40354  fourierdlem73  40396  fourierdlem81  40404  fourierdlem82  40405  fourierdlem83  40406  fourierdlem87  40410  fourierdlem93  40416  fourierdlem95  40418  fourierdlem101  40424  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  fourierdlem115  40438  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446