Theorem expcld 13008

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 12878	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  absexpz  14045  binomlem  14561  incexclem  14568  incexc  14569  incexc2  14570  geoserg  14598  pwm1geoser  14600  geolim  14601  geolim2  14602  geo2sum2  14605  geomulcvg  14607  bpolycl  14783  bpolydiflem  14785  efaddlem  14823  oexpneg  15069  pwp1fsum  15114  oddpwp1fsum  15115  cphipval  23042  dvexp3  23741  ply1termlem  23959  dgrcolem2  24030  dvply1  24039  aareccl  24081  aalioulem1  24087  taylfvallem1  24111  tayl0  24116  dvtaylp  24124  taylthlem2  24128  radcnvlem1  24167  pserulm  24176  logtayl  24406  cxpeq  24498  atantayl2  24665  atantayl3  24666  dfef2  24697  ftalem1  24799  ftalem2  24800  ftalem5  24803  basellem4  24810  logexprlim  24950  psgnfzto1st  29855  madjusmdetlem4  29896  oddpwdc  30416  eulerpartlemgs2  30442  signsplypnf  30627  signsply0  30628  breprexplemc  30710  breprexpnat  30712  bcprod  31624  knoppcnlem4  32486  knoppcnlem10  32492  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem6  32508  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem8  32510  knoppndvlem9  32511  knoppndvlem10  32512  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem17  32519  jm2.18  37555  jm2.22  37562  jm2.23  37563  itgpowd  37800  radcnvrat  38513  binomcxplemnn0  38548  binomcxplemnotnn0  38555  expcnfg  39823  fprodexp  39826  climexp  39837  dvsinexp  40125  dvxpaek  40155  dvnxpaek  40157  ibliccsinexp  40166  iblioosinexp  40168  itgsinexplem1  40169  itgsinexp  40170  iblsplit  40182  stoweidlem1  40218  stoweidlem7  40224  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem5  40295  stirlinglem7  40297  stirlinglem8  40298  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem13  40303  stirlinglem14  40304  stirlinglem15  40305  elaa2lem  40450  etransclem1  40452  etransclem4  40455  etransclem8  40459  etransclem18  40469  etransclem20  40471  etransclem21  40472  etransclem23  40474  etransclem35  40486  etransclem41  40492  etransclem46  40497  etransclem48  40499  pwdif  41501  pwm1geoserALT  41502  2pwp1prm  41503  lighneallem4  41527  oexpnegALTV  41588  altgsumbcALT  42131  dignn0flhalflem1  42409  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414