numclwlk2lem2f - Metamath Proof Explorer

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Theorem numclwlk2lem2f 27236

Description: 𝑅 is a function mapping the "closed (n+2)-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) v(n+1) v(n+2) starting at 𝑋 = v(0) = v(n+2) with v(n) =/= X" to the words representing the prefix v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
numclwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
numclwwlk.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))

**Assertion**
Ref	Expression
numclwlk2lem2f	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝑉 𝑥,𝐺,𝑤 𝑥,𝐻 𝑥,𝑁 𝑥,𝑄 𝑥,𝑉 𝑥,𝑋 Allowed substitution hints: 𝑄(𝑤,𝑣,𝑛) 𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛) 𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)

**Proof of Theorem numclwlk2lem2f**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4	1, 3	nnaddcld 11067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
5	4	anim2i 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ))
6	5	3adant1 1079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ))
7		numclwwlk.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		numclwwlk.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
9		numclwwlk.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
10		numclwwlk.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
11	7, 8, 9, 10	numclwwlkovh 27234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
14		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
15	14	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
16		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
17	16, 14	neeq12d 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
18	15, 17	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
19	18	elrab 3363	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
20	13, 19	syl6bb 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
21		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
22		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
23		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
26		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
28		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
29		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30	28, 29, 29	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
31		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
34	30, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)) = (ℤ_≥‘(𝑁 + 2)))
36	27, 35	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1)))
37	21, 36	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
38	37	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))))
40		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → 𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
41		wwlksubclwwlks 26925	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ_≥‘((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
42	39, 40, 41	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
43		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
44	43	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
45	28, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
47	46	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
48	47	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
50	42, 49	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
51	7	clwwlknbp0 26884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))))
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
53		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
54		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
55		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
57		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
58	57	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
59		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
60	54, 56, 58, 59	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
61		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
62		addsubass 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
63		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (2 − 1) = 1
64	63	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
65	62, 64	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
66	28, 61, 29, 65	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 2) − 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
68	60, 67	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)))
69		elfzp1b 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
70	22, 25, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
71	68, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
73		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (1...(#‘𝑥)) = (1...(𝑁 + 2)))
74	73	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
75	74	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
76	72, 75	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥)))
77		swrd0fv0 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
78	53, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
79	78	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0)))
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0)))
81	80	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
82	81	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
83		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
84	82, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋)
85		swrd0fvlsw 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑥))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
86	53, 76, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
87	28, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
88	28, 61	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
89	87, 88	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 + 2) − 2))
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
92	86, 91	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
93	92	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
95	94	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
96	95	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
97	96	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) → ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
99	98	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0))
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0))
101		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 = (𝑥‘0) → (( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
102	101	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥‘0) = 𝑋 → (( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
104	100, 103	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)
105	84, 104	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
106	52, 105	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
107	106	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
108	107	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
109	108	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
110	51, 109	simpl2im 658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
111	110	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
112	111	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
113	112	3adant1 1079	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
114	113	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
115	50, 114	jca 554	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
116	115	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
117	20, 116	sylbid 230	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
118	117	imp 445	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
119		3simpc 1060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
120	119	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
121	7, 8	numclwwlkovq 27232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
122	120, 121	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
123	122	eleq2d 2687	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
124		fveq1 6190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
125	124	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋))
126		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
127	126	neeq1d 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
128	125, 127	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
129	128	elrab 3363	. . . 4 ⊢ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
130	123, 129	syl6bb 276	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
131	118, 130	mpbird 247	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
132		numclwwlk.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
133	131, 132	fmptd 6385	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 {crab 2916 Vcvv 3200 ⟨cop 4183 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ↦ cmpt2 6652 ℂcc 9934 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 ≤ cle 10075 − cmin 10266 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ...cfz 12326 #chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 substr csubstr 13295 Vtxcvtx 25874 WWalksN cwwlksn 26718 ClWWalksN cclwwlksn 26876 FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-substr 13303 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: numclwlk2lem2f1o 27238

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