Theorem pjhthlem1 28250

Description: Lemma for pjhth 28252. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjhth.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjhth.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
pjhth.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
pjhth.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)))
pjhth.6	⊢ 𝑇 = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))

Assertion

Ref	Expression
pjhthlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐻   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem pjhthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
2		pjhth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
3		pjhth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4	3	cheli 28089	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
6		hvsubcl 27874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	1, 5, 6	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		pjhth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
9	3	cheli 28089	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → 𝐶 ∈ ℋ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
11		hicl 27937	. . 3 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	abscld 14175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
15	13	resqcld 13035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
16	15	renegcld 10457	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17		hiidrcl 27952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
19		2re 11090	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		readdcl 10019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		peano2re 10209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25		hiidge0 27955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
27	18	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
28	22, 18, 24, 26, 27	lelttrd 10195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
29	24	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
30	18	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
31		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		addass 10023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
33	31, 31, 32	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
35		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
36	35	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1))
37	34, 36	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
38	29, 37	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
39	22, 24, 21, 28, 38	lttrd 10198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
40	3	chshii 28084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
42		pjhth.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
43	24	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
44	18, 26	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+)
45	44	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
46	12, 43, 45	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
47	42, 46	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
48		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
49	41, 47, 8, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
50		shaddcl 28074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
51	41, 2, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
52		pjhth.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)))
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → (𝐴 −ℎ 𝑥) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
55	54	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ↔ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
56	55	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻 → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
57	51, 52, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
58	3	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
59	49, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
60		hvsubass 27901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
61	1, 5, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
63	57, 62	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
64		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
66		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
67	7, 59, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
68		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
70		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
71	7, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
72	22, 65, 69, 71, 63	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
73	65, 69, 71, 72	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ↔ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2)))
74	63, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2))
75	69	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
76	65	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
77	75, 76	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) ↔ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2)))
78	74, 77	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)))
79		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
80		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
81	44, 79, 80	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
82	15, 81	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
83	82, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
84	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
85	84	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86		hicl 27937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
87	7, 7, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
88	85, 87	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
89		normsq 27991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
90	67, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
91		his2sub 27949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
92	7, 59, 67, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
93		his2sub2 27950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
94	7, 7, 59, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
96		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
97	7, 59, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
98		his2sub2 27950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
99	59, 7, 59, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
100		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
101	59, 7, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
102		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
103	59, 59, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
104	101, 103	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
105	99, 104	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
106	87, 97, 105	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
107	82	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
108	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109	107, 43, 108	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
110	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)))
111		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
112	47, 7, 10, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
113	47	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114	113, 12	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
115	12	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
116	12, 115, 43, 45	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
117	12	absvalsqd 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))))
118	117	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
119	42	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
120	12, 43, 45	cjdivd 13963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
121	24	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
123	120, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
124	119, 123	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
126	116, 118, 125	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
127	112, 114, 126	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
128	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129	128, 43	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
130	43	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
131	129, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
132	128, 43, 43, 45, 45	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
133	131, 132	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
134	24	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135	134	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
136	81	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137	128, 43, 135, 136	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
138	127, 133, 137	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
139	82, 24	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140	138, 139	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ)
141		hire 27951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
142	7, 59, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
143	140, 142	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
144	143, 138	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
145		his35 27945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
146	47, 47, 10, 10, 145	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
147	42	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
148	12, 43, 45	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
149	44	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
150	24, 149	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
151	150	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
152	148, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
153	147, 152	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2))
155	47	absvalsqd 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
156	14, 43, 45	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
157	154, 155, 156	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
158	157	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
159	146, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
160	144, 159	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
161		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
162	30, 31, 161	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164	107, 43, 30	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
165	163, 164	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
166	160, 99, 165	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167	138, 166	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168	109, 110, 167	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
169	168	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
170	95, 106, 169	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
171	90, 92, 170	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
172	87, 84	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
173	87, 85	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
174	171, 172, 173	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
175		normsq 27991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
176	7, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
177	174, 176	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
178	21	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179	178	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180	128, 179, 135, 136	div23d 10838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
181	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182	107, 181	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
183	180, 182	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
184	88, 177, 183	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)))
185	78, 184	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
186	15, 178	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187	186, 81	ge0divd 11910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2))))
188	185, 187	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
189		mulneg12 10468	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
190	128, 181, 189	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
191	188, 190	breqtrrd 4681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
192		prodge02 10871	. . . . . 6 ⊢ (((-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∧ 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))) → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
193	16, 21, 39, 191, 192	syl22anc 1327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
194	15	le0neg1d 10599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
195	193, 194	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
196	13	sqge0d 13036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
197		0re 10040	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
198		letri3 10123	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
199	15, 197, 198	sylancl 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
200	195, 196, 199	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0)
201	14, 200	sqeq0d 13007	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = 0)
202	12, 201	abs00d 14185	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  ↑cexp 12860  ∗ccj 13836  abscabs 13974   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ℎ csm 27778   ·_ih csp 27779  norm_ℎcno 27780   −_ℎ cmv 27782   S_ℋ csh 27785   C_ℋ cch 27786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvdistr1 27865  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch 28078

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  28251