pjhthlem1 - Hilbert Space Explorer

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Theorem pjhthlem1 28250

Description: Lemma for pjhth 28252. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pjhth.1
pjhth.2
pjhth.3
pjhth.4
pjhth.5
pjhth.6

**Assertion**
Ref	Expression
pjhthlem1

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem pjhthlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . 4
2		pjhth.3	. . . . 5
3		pjhth.1	. . . . . 6
4	3	cheli 28089	. . . . 5
5	2, 4	syl 17	. . . 4
6		hvsubcl 27874	. . . 4 $/\$
7	1, 5, 6	syl2anc 693	. . 3
8		pjhth.4	. . . 4
9	3	cheli 28089	. . . 4
10	8, 9	syl 17	. . 3
11		hicl 27937	. . 3 $/\$
12	7, 10, 11	syl2anc 693	. 2
13	12	abscld 14175	. . . 4
14	13	recnd 10068	. . 3
15	13	resqcld 13035	. . . . . . 7
16	15	renegcld 10457	. . . . . 6
17		hiidrcl 27952	. . . . . . . 8
18	10, 17	syl 17	. . . . . . 7
19		2re 11090	. . . . . . 7
20		readdcl 10019	. . . . . . 7 $/\$
21	18, 19, 20	sylancl 694	. . . . . 6
22		0red 10041	. . . . . . 7
23		peano2re 10209	. . . . . . . 8
24	18, 23	syl 17	. . . . . . 7
25		hiidge0 27955	. . . . . . . . 9
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . 8
27	18	ltp1d 10954	. . . . . . . 8
28	22, 18, 24, 26, 27	lelttrd 10195	. . . . . . 7
29	24	ltp1d 10954	. . . . . . . 8
30	18	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
31		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
32		addass 10023	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
33	31, 31, 32	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . 9
35		df-2 11079	. . . . . . . . . 10
36	35	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
37	34, 36	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8
38	29, 37	breqtrrd 4681	. . . . . . 7
39	22, 24, 21, 28, 38	lttrd 10198	. . . . . 6
40	3	chshii 28084	. . . . . . . . . . . . . . 15
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
42		pjhth.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	24	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	18, 26	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45	44	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	12, 43, 45	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	42, 46	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15
48		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
49	41, 47, 8, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14
50		shaddcl 28074	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
51	41, 2, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13
52		pjhth.5	. . . . . . . . . . . . 13
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	54	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14
56	55	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13
57	51, 52, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12
58	3	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	49, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
60		hvsubass 27901	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
61	1, 5, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
63	57, 62	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11
64		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . 13
65	7, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
66		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
67	7, 59, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
68		normcl 27982	. . . . . . . . . . . . 13
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
70		normge0 27983	. . . . . . . . . . . . 13
71	7, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
72	22, 65, 69, 71, 63	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12
73	65, 69, 71, 72	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . 11
74	63, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
75	69	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11
76	65	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11
77	75, 76	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10
78	74, 77	mpbird 247	. . . . . . . . 9
79		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
81	44, 79, 80	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	15, 81	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . 14
83	82, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13
84	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
85	84	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11
86		hicl 27937	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
87	7, 7, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
88	85, 87	pncand 10393	. . . . . . . . . 10
89		normsq 27991	. . . . . . . . . . . . . 14
90	67, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
91		his2sub 27949	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
92	7, 59, 67, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13
93		his2sub2 27950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
94	7, 7, 59, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
96		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
97	7, 59, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15
98		his2sub2 27950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
99	59, 7, 59, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
101	59, 7, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
103	59, 59, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
104	101, 103	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	99, 104	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	87, 97, 105	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14
107	82	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
108	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
109	107, 43, 108	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
110	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
112	47, 7, 10, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113	47	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114	113, 12	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115	12	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116	12, 115, 43, 45	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117	12	absvalsqd 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118	117	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119	42	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
120	12, 43, 45	cjdivd 13963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121	24	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
123	120, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
124	119, 123	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126	116, 118, 125	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	112, 114, 126	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129	128, 43	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130	43	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131	129, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132	128, 43, 43, 45, 45	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133	131, 132	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134	24	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135	134	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136	81	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137	128, 43, 135, 136	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138	127, 133, 137	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
139	82, 24	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
140	138, 139	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141		hire 27951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
142	7, 59, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	140, 142	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144	143, 138	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145		his35 27945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
146	47, 47, 10, 10, 145	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	42	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
148	12, 43, 45	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
149	44	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
150	24, 149	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
151	150	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
152	148, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
153	147, 152	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155	47	absvalsqd 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
156	14, 43, 45	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
157	154, 155, 156	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
158	157	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
159	146, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
160	144, 159	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
161		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
162	30, 31, 161	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
164	107, 43, 30	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165	163, 164	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166	160, 99, 165	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
167	138, 166	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	109, 110, 167	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15
169	168	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
170	95, 106, 169	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13
171	90, 92, 170	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12
172	87, 84	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12
173	87, 85	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12
174	171, 172, 173	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11
175		normsq 27991	. . . . . . . . . . . 12
176	7, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11
177	174, 176	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
178	21	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13
179	178	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
180	128, 179, 135, 136	div23d 10838	. . . . . . . . . . 11
181	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
182	107, 181	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . 11
183	180, 182	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
184	88, 177, 183	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9
185	78, 184	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8
186	15, 178	remulcld 10070	. . . . . . . . 9
187	186, 81	ge0divd 11910	. . . . . . . 8
188	185, 187	mpbird 247	. . . . . . 7
189		mulneg12 10468	. . . . . . . 8 $/\$
190	128, 181, 189	syl2anc 693	. . . . . . 7
191	188, 190	breqtrrd 4681	. . . . . 6
192		prodge02 10871	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
193	16, 21, 39, 191, 192	syl22anc 1327	. . . . 5
194	15	le0neg1d 10599	. . . . 5
195	193, 194	mpbird 247	. . . 4
196	13	sqge0d 13036	. . . 4
197		0re 10040	. . . . 5
198		letri3 10123	. . . . 5 $/\$ $/\$
199	15, 197, 198	sylancl 694	. . . 4 $/\$
200	195, 196, 199	mpbir2and 957	. . 3
201	14, 200	sqeq0d 13007	. 2
202	12, 201	abs00d 14185	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

crp 11832

cexp 12860

ccj 13836

cabs 13974

chil 27776

cva 27777

csm 27778

csp 27779

cno 27780

cmv 27782

csh 27785

cch 27786

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-hilex 27856 ax-hfvadd 27857 ax-hvass 27859 ax-hv0cl 27860 ax-hfvmul 27862 ax-hvdistr1 27865 ax-hvmul0 27867 ax-hfi 27936 ax-his1 27939 ax-his2 27940 ax-his3 27941 ax-his4 27942

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-hnorm 27825 df-hvsub 27828 df-sh 28064 df-ch 28078

This theorem is referenced by: pjhthlem2 28251

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