Theorem cxpcn3lem 24488

Description: Lemma for cxpcn3 24489. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpcn3.d	⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
cxpcn3.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn3.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t (0[,)+∞))
cxpcn3.l	⊢ 𝐿 = (𝐽 ↾t 𝐷)
cxpcn3.u	⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
cxpcn3.t	⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
cxpcn3lem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑑,𝐴   𝐸,𝑎,𝑏,𝑑   𝐽,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑑   𝐷,𝑎,𝑏,𝑑   𝐿,𝑎,𝑏,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏,𝑑

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎,𝑏,𝑑)   𝐽(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem cxpcn3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpcn3.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
2		cxpcn3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2)
3		cxpcn3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (◡ℜ “ ℝ+)
4	3	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
5		ref 13852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
6		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
7		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)))
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
9	4, 8	bitri 264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+))
10	9	simprbi 480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+)
12		1rp 11836	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13		ifcl 4130	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
15	14	rphalfcld 11884	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ∈ ℝ+)
16	2, 15	syl5eqel 2705	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℝ+)
17		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
18	16	rpreccld 11882	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 11872	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ)
20	17, 19	rpcxpcld 24476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
21	16, 20	ifcld 4131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ∈ ℝ+)
22	1, 21	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
23		elrege0 12278	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
24		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
25		leloe 10124	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
26	24, 25	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎)))
27		elrp 11834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎))
28		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
29		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐷)
30		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
31	5	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ℜ = ℂ
32	30, 31	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
33	3, 32	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
34	33	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ∈ ℂ)
35	29, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		abscxp 24438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
37	28, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) = (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)))
38	35	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ)
39	28, 38	rpcxpcld 24476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) ∈ ℝ)
41	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ+)
42	41	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ∈ ℝ)
43	28, 42	rpcxpcld 24476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ+)
44	43	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ)
45		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
48	9	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
51	50	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) ∈ ℝ)
52		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
53		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
54	50, 52, 53	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴))
55	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
56	55	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 2 ∈ ℝ)
59		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 0 < 2)
61		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
62	56, 50, 58, 60, 61	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2)))
63	54, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
64	2, 63	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ ((ℜ‘𝐴) / 2))
65	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
66	65	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
67	49, 35	resubd 13956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)))
68	49, 35	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐴 − 𝑏) ∈ ℂ)
69	68	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
70	68	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ)
71	68	releabsd 14190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝑏)))
72		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)
73	72, 1	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
74	20	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ+)
75	74	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ)
76		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
77	70, 42, 75, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
78	73, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
79	78	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
80	69, 70, 42, 71, 79	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑈)
81	69, 42, 51, 80, 64	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘(𝐴 − 𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
82	67, 81	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2))
83	50, 38, 51	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘𝑏)) < ((ℜ‘𝐴) / 2) ↔ (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
84	82, 83	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (ℜ‘𝐴) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
85	66, 84	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2)))
86	51, 38, 51	ltadd1d 10620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏) ↔ (((ℜ‘𝐴) / 2) + ((ℜ‘𝐴) / 2)) < ((ℜ‘𝑏) + ((ℜ‘𝐴) / 2))))
87	85, 86	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((ℜ‘𝐴) / 2) < (ℜ‘𝑏))
88	42, 51, 38, 64, 87	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < (ℜ‘𝑏))
89	28	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℝ)
90	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
91	28	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎))
92		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
94		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘𝑎) < 𝑇)
95	93, 94	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑇)
96	95, 1	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
97		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)) ∈ ℝ) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
98	89, 42, 75, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < if(𝑈 ≤ (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)), 𝑈, (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))) ↔ (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))))
99	96, 98	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎 < 𝑈 ∧ 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
100	99	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 𝑈)
101		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
102	52, 101	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
103		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
104	50, 52, 103	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1)
105		lediv1 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
106	56, 90, 58, 60, 105	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) ≤ 1 ↔ (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2)))
107	104, 106	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (if((ℜ‘𝐴) ≤ 1, (ℜ‘𝐴), 1) / 2) ≤ (1 / 2))
108	2, 107	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 ≤ (1 / 2))
109		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) < 1
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 2) < 1)
111	42, 102, 90, 108, 110	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑈 < 1)
112	89, 42, 90, 100, 111	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < 1)
113	28, 42, 112, 38	cxplt3d 24478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 < (ℜ‘𝑏) ↔ (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈)))
114	88, 113	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < (𝑎↑𝑐𝑈))
115	41	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0))
116		recid 10699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ≠ 0) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑈 · (1 / 𝑈)) = 1)
118	117	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = (𝑎↑𝑐1))
119	41	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℝ+)
120	119	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (1 / 𝑈) ∈ ℂ)
121	28, 42, 120	cxpmuld 24480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(𝑈 · (1 / 𝑈))) = ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)))
122	28	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 ∈ ℂ)
123	122	cxp1d 24452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐1) = 𝑎)
124	118, 121, 123	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) = 𝑎)
125	99	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → 𝑎 < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
126	124, 125	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈)))
127	43	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)))
128	45	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
129		cxplt2 24444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎↑𝑐𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎↑𝑐𝑈)) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸) ∧ (1 / 𝑈) ∈ ℝ+) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
130	127, 128, 119, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → ((𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸 ↔ ((𝑎↑𝑐𝑈)↑𝑐(1 / 𝑈)) < (𝐸↑𝑐(1 / 𝑈))))
131	126, 130	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐𝑈) < 𝐸)
132	40, 44, 46, 114, 131	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (𝑎↑𝑐(ℜ‘𝑏)) < 𝐸)
133	37, 132	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
134	133	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
135	134	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
136	135	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
137	27, 136	sylan2br 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
138	137	expr 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 < 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
139		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℜ Fn ℂ → (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)))
140	5, 6, 139	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+))
141	140	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
142	141, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ∈ ℝ+)
143	142	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (ℜ‘𝑏) ≠ 0)
144		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = (ℜ‘0))
145		re0 13892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℜ‘0) = 0
146	144, 145	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 0 → (ℜ‘𝑏) = 0)
147	146	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ‘𝑏) ≠ 0 → 𝑏 ≠ 0)
148	143, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏 ≠ 0)
149	34, 148	0cxpd 24456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → (0↑𝑐𝑏) = 0)
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0↑𝑐𝑏) = 0)
151	150	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = 0)
152		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ ℝ+)
153	152	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 0 < 𝐸)
154	151, 153	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸)
155		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = 𝑎 → (0↑𝑐𝑏) = (𝑎↑𝑐𝑏))
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑎 → (abs‘(0↑𝑐𝑏)) = (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)))
157	156	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝑎 → ((abs‘(0↑𝑐𝑏)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
158	154, 157	syl5ibcom 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
159	158	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0 = 𝑎 → (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
160	159	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 = 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
161	138, 160	jaod 395	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑎 ∨ 0 = 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
162	26, 161	sylbid 230	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
163	162	expimpd 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
164	23, 163	syl5bi 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
165	164	ralrimiv 2965	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
166		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘𝑎) < 𝑑 ↔ (abs‘𝑎) < 𝑇))
167		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇))
168	166, 167	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) ↔ ((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇)))
169	168	imbi1d 331	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → ((((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
170	169	2ralbidv 2989	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝑇 → (∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸) ↔ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)))
171	170	rspcev 3309	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑇 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑇) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))
172	22, 165, 171	syl2anc 693	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑎 ∈ (0[,)+∞)∀𝑏 ∈ 𝐷 (((abs‘𝑎) < 𝑑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑏)) < 𝑑) → (abs‘(𝑎↑𝑐𝑏)) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  [,)cico 12177  ℜcre 13837  abscabs 13974   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  ↑_𝑐ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  cxpcn3  24489