Theorem 3exp4mod41 41533

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	|- ( ( 3 ^ 4 ) mod ; 4 1 ) = ( -u 1 mod ; 4 1 )

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 11144	. . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
2	1	eqcomi 2631	. . . . 5 |- 4 = ( 2 + 2 )
3	2	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( 3 ^ 4 ) = ( 3 ^ ( 2 + 2 ) )
4		3cn 11095	. . . . 5 |- 3 e. CC
5		2nn0 11309	. . . . 5 |- 2 e. NN0
6		expadd 12902	. . . . 5 |- ( ( 3 e. CC /\ 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( 3 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( ( 3 ^ 2 ) x. ( 3 ^ 2 ) ) )
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1424	. . . 4 |- ( 3 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( ( 3 ^ 2 ) x. ( 3 ^ 2 ) )
8		sq3 12961	. . . . . 6 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
9	8, 8	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( ( 3 ^ 2 ) x. ( 3 ^ 2 ) ) = ( 9 x. 9 )
10		9t9e81 11670	. . . . 5 |- ( 9 x. 9 ) = ; 8 1
11	9, 10	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( 3 ^ 2 ) x. ( 3 ^ 2 ) ) = ; 8 1
12	3, 7, 11	3eqtri 2648	. . 3 |- ( 3 ^ 4 ) = ; 8 1
13	12	oveq1i 6660	. 2 |- ( ( 3 ^ 4 ) mod ; 4 1 ) = (; 8 1 mod ; 4 1 )
14		dfdec10 11497	. . . 4 |- ; 8 1 = ( (; 1 0 x. 8 ) + 1 )
15		4cn 11098	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
16		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
17		4t2e8 11181	. . . . . . . . 9 |- ( 4 x. 2 ) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 4 ) = 8
19	18	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- 8 = ( 2 x. 4 )
20	19	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. 8 ) = (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) )
21		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
22	16, 21	negsubi 10359	. . . . . . . 8 |- ( 2 + -u 1 ) = ( 2 - 1 )
23		2m1e1 11135	. . . . . . . 8 |- ( 2 - 1 ) = 1
24	22, 23	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( 2 + -u 1 ) = 1
25	24	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- 1 = ( 2 + -u 1 )
26	20, 25	oveq12i 6662	. . . . 5 |- ( (; 1 0 x. 8 ) + 1 ) = ( (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) ) + ( 2 + -u 1 ) )
27		10nn 11514	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. NN
28	27	nncni 11030	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. CC
29	16, 15	mulcli 10045	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 4 ) e. CC
30	28, 29	mulcli 10045	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) ) e. CC
31		neg1cn 11124	. . . . . 6 |- -u 1 e. CC
32	30, 16, 31	addassi 10048	. . . . 5 |- ( ( (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) ) + 2 ) + -u 1 ) = ( (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) ) + ( 2 + -u 1 ) )
33	28, 15	mulcli 10045	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. 4 ) e. CC
34	16, 33, 21	adddii 10050	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( (; 1 0 x. 4 ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. (; 1 0 x. 4 ) ) + ( 2 x. 1 ) )
35		dfdec10 11497	. . . . . . . . 9 |- ; 4 1 = ( (; 1 0 x. 4 ) + 1 )
36	35	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( (; 1 0 x. 4 ) + 1 ) = ; 4 1
37	36	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( (; 1 0 x. 4 ) + 1 ) ) = ( 2 x. ; 4 1 )
38	16, 28, 15	mul12i 10231	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. (; 1 0 x. 4 ) ) = (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) )
39		2t1e2 11176	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) = 2
40	38, 39	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. (; 1 0 x. 4 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) ) + 2 )
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2653	. . . . . 6 |- ( (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) ) + 2 ) = ( 2 x. ; 4 1 )
42	41	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( (; 1 0 x. ( 2 x. 4 ) ) + 2 ) + -u 1 ) = ( ( 2 x. ; 4 1 ) + -u 1 )
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2650	. . . 4 |- ( (; 1 0 x. 8 ) + 1 ) = ( ( 2 x. ; 4 1 ) + -u 1 )
44	14, 43	eqtri 2644	. . 3 |- ; 8 1 = ( ( 2 x. ; 4 1 ) + -u 1 )
45	44	oveq1i 6660	. 2 |- (; 8 1 mod ; 4 1 ) = ( ( ( 2 x. ; 4 1 ) + -u 1 ) mod ; 4 1 )
46		4nn0 11311	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
47		1nn 11031	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
48	46, 47	decnncl 11518	. . . . . . 7 |- ; 4 1 e. NN
49	48	nncni 11030	. . . . . 6 |- ; 4 1 e. CC
50	16, 49	mulcli 10045	. . . . 5 |- ( 2 x. ; 4 1 ) e. CC
51	50, 31	addcomi 10227	. . . 4 |- ( ( 2 x. ; 4 1 ) + -u 1 ) = ( -u 1 + ( 2 x. ; 4 1 ) )
52	51	oveq1i 6660	. . 3 |- ( ( ( 2 x. ; 4 1 ) + -u 1 ) mod ; 4 1 ) = ( ( -u 1 + ( 2 x. ; 4 1 ) ) mod ; 4 1 )
53		neg1rr 11125	. . . 4 |- -u 1 e. RR
54		nnrp 11842	. . . . 5 |- (; 4 1 e. NN -> ; 4 1 e. RR+ )
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 |- ; 4 1 e. RR+
56		2z 11409	. . . 4 |- 2 e. ZZ
57		modcyc 12705	. . . 4 |- ( ( -u 1 e. RR /\ ; 4 1 e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( -u 1 + ( 2 x. ; 4 1 ) ) mod ; 4 1 ) = ( -u 1 mod ; 4 1 ) )
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( -u 1 + ( 2 x. ; 4 1 ) ) mod ; 4 1 ) = ( -u 1 mod ; 4 1 )
59	52, 58	eqtri 2644	. 2 |- ( ( ( 2 x. ; 4 1 ) + -u 1 ) mod ; 4 1 ) = ( -u 1 mod ; 4 1 )
60	13, 45, 59	3eqtri 2648	1 |- ( ( 3 ^ 4 ) mod ; 4 1 ) = ( -u 1 mod ; 4 1 )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   8c8 11076   9c9 11077   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   RR+crp 11832   mod cmo 12668   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  41535