Theorem 6lcm4e12 15329

Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6lcm4e12	|- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Proof of Theorem 6lcm4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 11102	. . . 4 |- 6 e. CC
2		4cn 11098	. . . 4 |- 4 e. CC
3	1, 2	mulcli 10045	. . 3 |- ( 6 x. 4 ) e. CC
4		6nn0 11313	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
5	4	nn0zi 11402	. . . . 5 |- 6 e. ZZ
6		4z 11411	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
7	5, 6	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ )
8		lcmcl 15314	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. NN0 )
9	8	nn0cnd 11353	. . . 4 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 lcm 4 ) e. CC )
10	7, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( 6 lcm 4 ) e. CC
11		gcdcl 15228	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN0 )
12	11	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) e. CC )
13	7, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) e. CC
14		4ne0 11117	. . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
15	14	neii 2796	. . . . . . . 8 |- -. 4 = 0
16	15	intnan 960	. . . . . . 7 |- -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 )
17	7, 16	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) /\ -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 ) )
18		gcdn0cl 15224	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) /\ -. ( 6 = 0 /\ 4 = 0 ) ) -> ( 6 gcd 4 ) e. NN )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 6 gcd 4 ) e. NN
20	19	nnne0i 11055	. . . 4 |- ( 6 gcd 4 ) =/= 0
21	13, 20	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) =/= 0 )
22		6nn 11189	. . . . . . . 8 |- 6 e. NN
23		4nn 11187	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
24	22, 23	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( 6 e. NN /\ 4 e. NN )
25		lcmgcdnn 15324	. . . . . . 7 |- ( ( 6 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) ) -> ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 x. 4 ) )
27	26	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) ) -> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) )
28		divmul3 10690	. . . . 5 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) <-> ( 6 x. 4 ) = ( ( 6 lcm 4 ) x. ( 6 gcd 4 ) ) ) )
29	27, 28	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) ) -> ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( 6 lcm 4 ) )
30	29	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ( 6 x. 4 ) e. CC /\ ( 6 lcm 4 ) e. CC /\ ( ( 6 gcd 4 ) e. CC /\ ( 6 gcd 4 ) =/= 0 ) ) -> ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) )
31	3, 10, 21, 30	mp3an 1424	. 2 |- ( 6 lcm 4 ) = ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) )
32		6gcd4e2 15255	. . 3 |- ( 6 gcd 4 ) = 2
33	32	oveq2i 6661	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / ( 6 gcd 4 ) ) = ( ( 6 x. 4 ) / 2 )
34		2cn 11091	. . . 4 |- 2 e. CC
35		2ne0 11113	. . . 4 |- 2 =/= 0
36	1, 2, 34, 35	divassi 10781	. . 3 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ( 6 x. ( 4 / 2 ) )
37		4d2e2 11184	. . . 4 |- ( 4 / 2 ) = 2
38	37	oveq2i 6661	. . 3 |- ( 6 x. ( 4 / 2 ) ) = ( 6 x. 2 )
39		6t2e12 11641	. . 3 |- ( 6 x. 2 ) = ; 1 2
40	36, 38, 39	3eqtri 2648	. 2 |- ( ( 6 x. 4 ) / 2 ) = ; 1 2
41	31, 33, 40	3eqtri 2648	1 |- ( 6 lcm 4 ) = ; 1 2

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   6c6 11074   ZZcz 11377  ;cdc 11493   gcd cgcd 15216   lcm clcm 15301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303

This theorem is referenced by:  lcmf2a3a4e12  15360