Theorem ballotlemsima 30577

Description: The image by S of an interval before the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsima	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) = ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   S( x, i, c)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, i, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemsima

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5477	. . . . . 6 |- ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ran ( S ` C )
2		ballotth.m	. . . . . . . . 9 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . . . . 9 |- N e. NN
4		ballotth.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
5		ballotth.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
6		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
7		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
8		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
9		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
10		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsf1o 30575	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) /\ `' ( S ` C ) = ( S ` C ) ) )
12	11	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) )
13		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) --> ( 1 ... ( M + N ) ) )
14		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) --> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ran ( S ` C ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ran ( S ` C ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
16	1, 15	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
17		fzssuz 12382	. . . . . 6 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
18		uzssz 11707	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
19	17, 18	sstri 3612	. . . . 5 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
20	16, 19	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ZZ )
21	20	adantr 481	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) C_ ZZ )
22	21	sselda 3603	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) ) -> k e. ZZ )
23		elfzelz 12342	. . 3 |- ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) -> k e. ZZ )
24	23	adantl 482	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) -> k e. ZZ )
25		f1ofn 6138	. . . . . . 7 |- ( ( S ` C ) : ( 1 ... ( M + N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
26	12, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) )
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemiex 30563	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
29	28	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
31		elfzuz3 12339	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
33		elfzuz3 12339	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) )
34	33	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) )
35		uztrn 11704	. . . . . . 7 |- ( ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) /\ ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` J ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) )
36	32, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) )
37		fzss2 12381	. . . . . 6 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` J ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
39		fvelimab 6253	. . . . 5 |- ( ( ( S ` C ) Fn ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( 1 ... J ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
40	27, 38, 39	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
41	40	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
42		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
43	2	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . 13 |- M e. ZZ
44	3	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . 13 |- N e. ZZ
45		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
46	43, 44, 45	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M + N ) e. ZZ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
48		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
50		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 <_ J )
52	49	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. RR )
53		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
54	29, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
56	55	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
57	47	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( M + N ) e. RR )
58		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
60		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
61	29, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
63	52, 56, 57, 59, 62	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J <_ ( M + N ) )
64		elfz4 12335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( M + N ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
65	42, 47, 49, 51, 63, 64	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
66	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsv 30571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
67	65, 66	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) )
68		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
69		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( J <_ ( I ` C ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
70	68, 58, 69	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> if ( J <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) , J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
71	67, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) = ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) )
73	72	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
75	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
76	75	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( I ` C ) e. CC )
77		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> 1 e. CC )
78	76, 77	pncand 10393	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) = ( I ` C ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) )
80	79	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( I ` C ) ) ) )
81		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
82	48	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> J e. ZZ )
83	75	peano2zd 11485	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ )
84		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
85		fzrev 12403	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( ( ( I ` C ) + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
86	81, 82, 83, 84, 85	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - J ) ... ( ( ( I ` C ) + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
87	74, 80, 86	3bitr2d 296	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) ) )
88		risset 3062	. . . . 5 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) )
89	88	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) e. ( 1 ... J ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) ) )
90		eqcom 2629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) )
91	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
92	91	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
93	92	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. CC )
94		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> 1 e. CC )
95	93, 94	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC )
96		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> k e. ZZ )
97	96	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> k e. CC )
98		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... J ) -> j e. ZZ )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ZZ )
100	99	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. CC )
101		subsub23 10286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) e. CC /\ k e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
102	95, 97, 100, 101	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) = j <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
103	90, 102	syl5bbr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
104		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> C e. ( O \ E ) )
105	38	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
106	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemsv 30571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
107	104, 105, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) )
108	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. ZZ )
109	108	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j e. RR )
110	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J e. ZZ )
111	110	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J e. RR )
112	91	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
113		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... J ) -> j <_ J )
114	113	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j <_ J )
115	58	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
116	109, 111, 112, 114, 115	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> j <_ ( I ` C ) )
117		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( j <_ ( I ` C ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> if ( j <_ ( I ` C ) , ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) , j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
119	107, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( S ` C ) ` j ) = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) )
120	119	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` j ) = k <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
121	120	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` j ) = k <-> ( ( ( I ` C ) + 1 ) - j ) = k ) )
122	103, 121	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ j e. ( 1 ... J ) ) -> ( j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
123	122	rexbidva 3049	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( E. j e. ( 1 ... J ) j = ( ( ( I ` C ) + 1 ) - k ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
124	87, 89, 123	3bitrd 294	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) <-> E. j e. ( 1 ... J ) ( ( S ` C ) ` j ) = k ) )
125	41, 124	bitr4d 271	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) <-> k e. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
126	22, 24, 125	eqrdav 2621	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) " ( 1 ... J ) ) = ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlemfrc  30588