Theorem basellem8 24814

Description: Lemma for basel 24816. The function F of partial sums of the inverse squares is bounded below by J and above by K, obtained by summing the inequality cot ^ 2 x <_ 1 / x ^ 2 <_ csc ^ 2 x = cot ^ 2 x + 1 over the M roots of the polynomial P, and applying the identity basellem5 24811. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.g	|- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
basel.f	|- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h	|- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
basel.j	|- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
basel.k	|- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
basellem8.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
basellem8	|- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Distinct variable groups:   n, F   n, M   n, J   n, N

Allowed substitution hints:   G( n)   H( n)   K( n)

Proof of Theorem basellem8

Dummy variables k x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
2		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
3		basellem8.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
4		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
5		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
6	4, 5	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
7	6	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
8	3, 7	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> N e. NN )
9		nndivre 11056	. . . . . . . 8 |- ( ( pi e. RR /\ N e. NN ) -> ( pi / N ) e. RR )
10	2, 8, 9	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. RR )
11	10	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
12	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. RR )
13	3	basellem1 24807	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
14		tanrpcl 24256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
16	15	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
17	15	rpne0d 11877	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
18		2z 11409	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
19		znegcl 11412	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> -u 2 e. ZZ )
22	16, 17, 21	reexpclzd 13034	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
23	12, 22	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
24		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
25	24	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. NN )
26	25	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR )
27	25	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k =/= 0 )
28	26, 27, 21	reexpclzd 13034	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR )
29	16	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
30		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
31		expneg 12868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
32	29, 30, 31	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
34	10	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi / N ) e. CC )
35	34	sqcld 13006	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) e. CC )
37		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	15, 18, 37	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
39	38	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
41	38	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
42	36, 40, 41	divrecd 10804	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
43	33, 42	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
44	25	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. RR+ )
45		rpexpcl 12879	. . . . . . 7 |- ( ( k e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
46	44, 20, 45	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. RR+ )
47		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
48	47	negnegi 10351	. . . . . . . . . . 11 |- -u -u 2 = 2
49	48	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( k ^ -u -u 2 ) = ( k ^ 2 )
50	25	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. CC )
51	50, 27, 21	expnegd 13015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u -u 2 ) = ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) )
52	49, 51	syl5reqr 2671	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) = ( k ^ 2 ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
54		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. CC )
55		nnne0 11053	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
56	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> -u 2 e. ZZ )
57	54, 55, 56	expclzd 13013	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
58	25, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) e. CC )
59	50, 27, 21	expne0d 13014	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) =/= 0 )
60	36, 58, 59	divrec2d 10805	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( 1 / ( k ^ -u 2 ) ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
61	2	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. CC
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> pi e. CC )
63	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N e. CC )
64	8	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> N =/= 0 )
65	63, 64	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
67		divass 10703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ pi e. CC /\ ( N e. CC /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
68	50, 62, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) = ( k x. ( pi / N ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) )
70	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( pi / N ) e. CC )
71	50, 70	sqmuld 13020	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. ( pi / N ) ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
72	69, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) = ( ( k ^ 2 ) x. ( ( pi / N ) ^ 2 ) ) )
73	53, 60, 72	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) = ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
74		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
75	13, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR )
76	75	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) e. RR )
77		tangtx 24257	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
78	13, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
79		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
80	13, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( ( k x. pi ) / N ) /\ ( ( k x. pi ) / N ) < ( pi / 2 ) ) )
81	80	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( ( k x. pi ) / N ) )
82	75, 81	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ )
83	82	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
84	15	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
85	75, 16, 83, 84	lt2sqd 13043	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <-> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
86	78, 85	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
87	76, 39, 86	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
88	73, 87	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <_ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
89	12, 46, 38, 88	lediv23d 11938	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
90	43, 89	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ ( k ^ -u 2 ) )
91	1, 23, 28, 90	fsumle 14531	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
92		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. M ) )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + 1 ) )
94	93, 3	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) = ( 1 / N ) )
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) )
98	95	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
99	98	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
100	97, 99	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
101		basel.j	. . . . . 6 |- J = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) )
102		nnex 11026	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> NN e. _V )
104		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
105		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) e. _V )
106		basel.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) )
107	2	resqcli 12949	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi ^ 2 ) e. RR
108		6re 11101	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. RR
109		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
110	109	nnne0i 11055	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 =/= 0
111	107, 108, 110	redivcli 10792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. RR )
113		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
114		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) )
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) = ( n e. NN |-> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) ) )
116		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> 1 e. ZZ )
117		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) e. _V )
118		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( NN X. { 1 } ) = ( n e. NN |-> 1 ) )
120		basel.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> G = ( n e. NN |-> ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) )
122	103, 116, 117, 119, 121	offval2 6914	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) = ( n e. NN |-> ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
123	103, 112, 113, 115, 122	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) } ) oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF - G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
124	106, 123	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( T. -> H = ( n e. NN |-> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
125		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
126	47	negcli 10349	. . . . . . . . . . 11 |- -u 2 e. CC
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> -u 2 e. CC )
128		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 )
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( NN X. { -u 2 } ) = ( n e. NN |-> -u 2 ) )
130	103, 127, 117, 129, 121	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) = ( n e. NN |-> ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
131	103, 116, 125, 119, 130	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
132	103, 104, 105, 124, 131	offval2 6914	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) ) )
133	132	trud 1493	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + ( ( NN X. { -u 2 } ) oF x. G ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
134	101, 133	eqtri 2644	. . . . 5 |- J = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
135		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) e. _V
136	100, 134, 135	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) )
137	111	recni 10052	. . . . . . . 8 |- ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC
138	137	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) e. CC )
139	6	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. CC )
140	139, 63, 64	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) / N ) e. CC )
141		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
142		subcl 10280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
143	139, 141, 142	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) - 1 ) e. CC )
144	143, 63, 64	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) e. CC )
145	138, 140, 144	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
146		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 1 e. CC )
147	63, 146, 63, 64	divsubdird 10840	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) )
148	3	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 )
149		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. M ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
150	139, 141, 149	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. M ) )
151	148, 150	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 1 ) = ( 2 x. M ) )
152	151	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
153	63, 64	dividd 10799	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N / N ) = 1 )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) - ( 1 / N ) ) = ( 1 - ( 1 / N ) ) )
155	147, 152, 154	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 1 - ( 1 / N ) ) = ( ( 2 x. M ) / N ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) )
157	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> -u 2 e. CC )
158	63, 157, 63, 64	divdird 10839	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) )
159		negsub 10329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
160	63, 47, 159	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( N - 2 ) )
161		df-2 11079	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
162	3, 161	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11 |- ( N - 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) )
163	139, 146, 146	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
164	162, 163	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N - 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
165	160, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( N + -u 2 ) = ( ( 2 x. M ) - 1 ) )
166	165	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N + -u 2 ) / N ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
167	157, 63, 64	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( -u 2 / N ) = ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) )
168	153, 167	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( -u 2 / N ) ) = ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) )
169	158, 166, 168	3eqtr3rd 2665	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) )
170	156, 169	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) )
171	8	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
172	171	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) e. CC )
173		6cn 11102	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. CC
174		mulcom 10022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ 6 e. CC ) -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
175	172, 173, 174	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) = ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) )
176	175	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
177	107	recni 10052	. . . . . . . . . 10 |- ( pi ^ 2 ) e. CC
178	177	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( pi ^ 2 ) e. CC )
179	139, 143	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC )
180	171	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) =/= 0 )
181	172, 180	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) )
182	173, 110	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 )
183	182	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) )
184		divmuldiv 10725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
185	178, 179, 181, 183, 184	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
186		divmuldiv 10725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
187	178, 179, 183, 181, 186	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
188	176, 185, 187	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
189	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> pi e. CC )
190	189, 63, 64	sqdivd 13021	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( pi / N ) ^ 2 ) = ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) )
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
192	139, 63, 143, 63, 64, 64	divmuldivd 10842	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
193	63	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( N ^ 2 ) = ( N x. N ) )
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
195	192, 194	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
197	188, 191, 196	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) / N ) ) ) )
198	145, 170, 197	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
199		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( x ^ j ) ) )
200		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
201	3, 199, 200	basellem5 24811	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) )
202	201	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) ) )
203	198, 202	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( -u 2 x. ( 1 / N ) ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
204	22	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
205	1, 35, 204	fsummulc2 14516	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
206	136, 203, 205	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
207		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( n ^ -u 2 ) = ( k ^ -u 2 ) )
208		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) = ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) )
209		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( k ^ -u 2 ) e. _V
210	207, 208, 209	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
211	25, 210	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ` k ) = ( k ^ -u 2 ) )
212		id 22	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN )
213		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
214	212, 213	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
215	211, 214, 58	fsumser 14461	. . . 4 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M ) )
216		basel.f	. . . . 5 |- F = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) )
217	216	fveq1i 6192	. . . 4 |- ( F ` M ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( n ^ -u 2 ) ) ) ` M )
218	215, 217	syl6reqr 2675	. . 3 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) )
219	91, 206, 218	3brtr4d 4685	. 2 |- ( M e. NN -> ( J ` M ) <_ ( F ` M ) )
220	75	resincld 14873	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
221		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
222	13, 221	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
223	222	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
224	223	gt0ne0d 10592	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
225	220, 224, 21	reexpclzd 13034	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
226	12, 225	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) e. RR )
227		sinltx 14919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. RR+ -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
228	82, 227	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( ( k x. pi ) / N ) )
229	220, 75, 228	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) )
230		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
231		ltle 10126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
232	230, 220, 231	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
233	223, 232	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
234	220, 75, 233, 83	le2sqd 13044	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) <_ ( ( k x. pi ) / N ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) ) )
235	229, 234	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( k x. pi ) / N ) ^ 2 ) )
236	235, 73	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) )
237	220	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR )
238	237, 12, 46	lemuldiv2d 11922	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) ) )
239	220, 223	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
240		rpexpcl 12879	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
241	239, 18, 240	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
242	28, 12, 241	lemuldivd 11921	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( k ^ -u 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) <_ ( ( pi / N ) ^ 2 ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
243	238, 242	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( k ^ -u 2 ) ) <-> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
244	236, 243	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
245	220	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
246		expneg 12868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
247	245, 30, 246	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
248	247	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249	237	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
250	241	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
251	36, 249, 250	divrecd 10804	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
252	248, 251	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
253	244, 252	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k ^ -u 2 ) <_ ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
254	1, 28, 226, 253	fsumle 14531	. . 3 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2 ) <_ sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
255	95	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
256	97, 255	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
257		basel.k	. . . . . 6 |- K = ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) )
258		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. NN ) -> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) e. _V )
259	103, 116, 117, 119, 121	offval2 6914	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) = ( n e. NN |-> ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
260	103, 104, 258, 124, 259	offval2 6914	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) ) )
261	260	trud 1493	. . . . . 6 |- ( H oF x. ( ( NN X. { 1 } ) oF + G ) ) = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
262	257, 261	eqtri 2644	. . . . 5 |- K = ( n e. NN |-> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) ) ) )
263		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) e. _V
264	256, 262, 263	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) )
265		peano2cn 10208	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
266	63, 265	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( N + 1 ) e. CC )
267	266, 63, 64	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) e. CC )
268	138, 140, 267	mulassd 10063	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
269	63, 146, 63, 64	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N + 1 ) / N ) = ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) )
270	153	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( N / N ) + ( 1 / N ) ) = ( 1 + ( 1 / N ) ) )
271	269, 270	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 + ( 1 / N ) ) = ( ( N + 1 ) / N ) )
272	156, 271	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( 2 x. M ) / N ) ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) )
273	175	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
274	139, 266	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC )
275		divmuldiv 10725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
276	178, 274, 181, 183, 275	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( ( N ^ 2 ) x. 6 ) ) )
277		divmuldiv 10725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( pi ^ 2 ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) e. CC ) /\ ( ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) /\ ( ( N ^ 2 ) e. CC /\ ( N ^ 2 ) =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
278	178, 274, 183, 181, 277	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) x. ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) ) / ( 6 x. ( N ^ 2 ) ) ) )
279	273, 276, 278	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
280	75	recoscld 14874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR )
281	280	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
282	281	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. CC )
283	249, 282, 249, 250	divdird 10839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
284	75	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. CC )
285		sincossq 14906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
286	284, 285	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
287	286	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
288	249, 250	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
289	222	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
290	289	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
291		tanval 14858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. CC /\ ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
292	284, 290, 291	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) = ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
293	292	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) )
294	245, 281, 290	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) / ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
295	293, 294	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
296	295	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
297		sqne0 12930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
298	281, 297	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) =/= 0 ) )
299	290, 298	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) =/= 0 )
300	249, 282, 250, 299	recdivd 10818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
301	32, 296, 300	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
302	288, 301	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( cos ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
303	283, 287, 302	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 / ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
304		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
305	141, 204, 304	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( 1 + ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
306	247, 303, 305	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
307	306	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) )
308		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 1 e. CC )
309	1, 204, 308	fsumadd 14470	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + 1 ) = ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) )
310		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
311	1, 141, 310	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) )
312		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
313		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
314	312, 313	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
315	314	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) x. 1 ) = ( M x. 1 ) )
316		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. CC )
317	316	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( M x. 1 ) = M )
318	311, 315, 317	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 = M )
319	201, 318	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... M ) 1 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
320	307, 309, 319	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
321		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
322	321	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> 3 e. CC )
323	139, 143, 322	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) )
324		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 = ( 2 + 1 )
325	324	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 - 1 ) = ( ( 2 + 1 ) - 1 )
326	47, 141	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 + 1 ) - 1 ) = 2
327	325, 326, 161	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
328	327	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) )
329	139, 146, 322	subadd23d 10414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 3 - 1 ) ) )
330	139, 146, 146	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) ) )
331	328, 329, 330	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) )
332	3	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 )
333	331, 332	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) = ( N + 1 ) )
334	333	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( ( ( 2 x. M ) - 1 ) + 3 ) ) = ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) )
335		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> 2 e. CC )
336	335, 316, 322	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M ) )
337		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = 6
338	321, 47	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. 2 ) = ( 2 x. 3 )
339	337, 338	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 = ( 2 x. 3 )
340	339	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 6 x. M ) = ( ( 2 x. 3 ) x. M )
341	336, 340	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. 3 ) = ( 6 x. M ) )
342	341	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( ( 2 x. M ) x. 3 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
343	323, 334, 342	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) )
344	343	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) )
345		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 6 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 6 x. M ) e. CC )
346	173, 316, 345	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 6 x. M ) e. CC )
347	173	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 e. CC )
348	110	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> 6 =/= 0 )
349	179, 346, 347, 348	divdird 10839	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) + ( 6 x. M ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) )
350	316, 347, 348	divcan3d 10806	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( 6 x. M ) / 6 ) = M )
351	350	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + ( ( 6 x. M ) / 6 ) ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
352	344, 349, 351	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) = ( ( ( ( 2 x. M ) x. ( ( 2 x. M ) - 1 ) ) / 6 ) + M ) )
353	320, 352	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) )
354	190, 353	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / ( N ^ 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / 6 ) ) )
355	139, 63, 266, 63, 64, 64	divmuldivd 10842	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
356	193	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N x. N ) ) )
357	355, 356	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) = ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) )
358	357	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) x. ( N + 1 ) ) / ( N ^ 2 ) ) ) )
359	279, 354, 358	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( ( ( 2 x. M ) / N ) x. ( ( N + 1 ) / N ) ) ) )
360	268, 272, 359	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( ( pi ^ 2 ) / 6 ) x. ( 1 - ( 1 / N ) ) ) x. ( 1 + ( 1 / N ) ) ) = ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
361	225	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
362	1, 35, 361	fsummulc2 14516	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
363	264, 360, 362	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( M e. NN -> ( K ` M ) = sum_ k e. ( 1 ... M ) ( ( ( pi / N ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) )
364	254, 218, 363	3brtr4d 4685	. 2 |- ( M e. NN -> ( F ` M ) <_ ( K ` M ) )
365	219, 364	jca 554	1 |- ( M e. NN -> ( ( J ` M ) <_ ( F ` M ) /\ ( F ` M ) <_ ( K ` M ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   6c6 11074   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   _C cbc 13089   #chash 13117   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   tanctan 14796   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  basellem9  24815