bgoldbtbndlem4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > bgoldbtbndlem4		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem bgoldbtbndlem4 41696

Description: Lemma 4 for bgoldbtbnd 41697. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bgoldbtbnd.m	;
bgoldbtbnd.n	;
bgoldbtbnd.b	Even $/\$ GoldbachEven
bgoldbtbnd.d
bgoldbtbnd.f	RePart
bgoldbtbnd.i	..^ $\$ $/\$ $/\$
bgoldbtbnd.0
bgoldbtbnd.1	;
bgoldbtbnd.l
bgoldbtbnd.r

**Assertion**
Ref	Expression
bgoldbtbndlem4	$/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem4 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . 3 $/\$ ..^ $/\$ Odd
2		simpr 477	. . 3 $/\$ ..^ $/\$ Odd Odd
3		simplr 792	. . 3 $/\$ ..^ $/\$ Odd ..^
4		bgoldbtbnd.m	. . . 4 ;
5		bgoldbtbnd.n	. . . 4 ;
6		bgoldbtbnd.b	. . . 4 Even $/\$ GoldbachEven
7		bgoldbtbnd.d	. . . 4
8		bgoldbtbnd.f	. . . 4 RePart
9		bgoldbtbnd.i	. . . 4 ..^ $\$ $/\$ $/\$
10		bgoldbtbnd.0	. . . 4
11		bgoldbtbnd.1	. . . 4 ;
12		bgoldbtbnd.l	. . . 4
13		eqid 2622	. . . 4
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	bgoldbtbndlem2 41694	. . 3 $/\$ Odd $/\$ ..^ $/\$ Even $/\$ $/\$
15	1, 2, 3, 14	syl3anc 1326	. 2 $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ Even $/\$ $/\$
16		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
17		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12
18	16, 17	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
19		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 GoldbachEven GoldbachEven
20	18, 19	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 $/\$ GoldbachEven $/\$ GoldbachEven
21	20	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 Even $/\$ GoldbachEven Even $/\$ GoldbachEven
22		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12
23		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12
24	22, 23	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
25		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 GoldbachEven GoldbachEven
26	24, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 $/\$ GoldbachEven $/\$ GoldbachEven
27	26	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 Even Even $/\$ GoldbachEven $/\$ GoldbachEven
28	21, 27	syl5bi 232	. . . . . . . 8 Even Even $/\$ GoldbachEven $/\$ GoldbachEven
29		id 22	. . . . . . . . . . 11 $/\$ GoldbachEven $/\$ GoldbachEven
30		isgbe 41639	. . . . . . . . . . . . 13 GoldbachEven Even $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
31		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$ $/\$ $/\$ $\$
32	31	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ $\$ $/\$ $/\$ ..^ $\$
33		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^ $/\$ $/\$
34		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
35	34	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
36	33, 35	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
38		eluzge3nn 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
39	38	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
40		elfzo2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^ $/\$ $/\$
41		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
43	42	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$
44		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$
45	42, 44	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
46		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$
48		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ $/\$
49	45, 42, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
50	43, 49	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$
51	50	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
52	40, 51	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^
54	37, 39, 53	3jcad 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^ $/\$ $/\$
55	7, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ $/\$ $/\$
56	55	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ ..^ $/\$ $/\$
57		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ $/\$ $/\$
58	56, 57	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ ..^ ..^
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
60	59	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $\$ $\$
61	60	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^ ..^ $\$ $\$
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ ..^ ..^ $\$ $\$
63		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\$
64	62, 63	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ ..^ ..^ $\$
65	64	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ ..^ $\$
66	65	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ $\$ ..^
67	32, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^ $\$ $/\$ $/\$ ..^
68	9, 67	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Even $/\$ ..^
70	69	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Even $/\$ $/\$ ..^
71	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
73		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd Odd
74	73	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$ Odd $/\$ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd
75		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
76	75	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77	74, 76	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
79		oddprmALTV 41598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $\$ Odd
80	62, 79	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ ..^ ..^ $\$ Odd
81	80	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^ ..^ $\$ Odd
82	81	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ $\$ ..^ Odd
83	32, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ $\$ $/\$ $/\$ ..^ Odd
84	9, 83	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ Odd
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Even $/\$ ..^ Odd
86	85	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Even $/\$ $/\$ ..^ Odd
87	86	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ Odd
88		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd
89	87, 88	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd
90		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$ Odd $/\$ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd
91	89, 90	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd
92		oddz 41544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Odd
93	92	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Odd
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd
95	94	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Odd $/\$ Odd $/\$ Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
97		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
98	97	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
99	63, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $\$
100	62, 99	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ ..^ ..^ $\$
101	100	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^ ..^ $\$
102	101	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^ $\$ ..^
103	32, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ $\$ $/\$ $/\$ ..^
104	9, 103	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Even $/\$ ..^
106	105	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Even $/\$ $/\$ ..^
107	106	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Odd $/\$ Odd $/\$ Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
109	96, 108	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Odd $/\$ Odd $/\$ Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
110		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
111	109, 110	sylan9req 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Odd $/\$ Odd $/\$ Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$
112	111	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Odd $/\$ Odd Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
113	112	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odd $/\$ Odd Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
114	113	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Odd $/\$ Odd $/\$ Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$
115	114	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
116	91, 115	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
117	72, 78, 116	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
118	117	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
119	118	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
120	119	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Even $/\$ $/\$ ..^ $/\$ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
121	120	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . 15 Even ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
122	121	com25 99	. . . . . . . . . . . . . 14 Even Odd $/\$ Odd $/\$ ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
123	122	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 Even $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
124	30, 123	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 GoldbachEven ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
125	124	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 GoldbachEven Even ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
126	29, 125	syl6com 37	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ GoldbachEven Even ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
127	126	ancoms 469	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ GoldbachEven Even ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
128	127	com13 88	. . . . . . . 8 Even $/\$ GoldbachEven $/\$ ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
129	28, 128	syld 47	. . . . . . 7 Even Even $/\$ GoldbachEven $/\$ ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
130	129	com23 86	. . . . . 6 Even $/\$ Even $/\$ GoldbachEven ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
131	130	3impib 1262	. . . . 5 Even $/\$ $/\$ Even $/\$ GoldbachEven ..^ Odd Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
132	131	com15 101	. . . 4 Even $/\$ GoldbachEven ..^ Odd Even $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
133	6, 132	mpd 15	. . 3 ..^ Odd Even $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
134	133	imp31 448	. 2 $/\$ ..^ $/\$ Odd Even $/\$ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$
135	15, 134	syld 47	1 $/\$ ..^ $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$ Odd $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913 $\$ cdif 3571

csn 4177 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c7 11075

cn0 11292

cz 11377 ;cdc 11493

cuz 11687

cico 12177 ..^cfzo 12465

cprime 15385 RePartciccp 41349 Even ceven 41537 Odd codd 41538 GoldbachEven cgbe 41633

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-prm 15386 df-iccp 41350 df-even 41539 df-odd 41540 df-gbe 41636

This theorem is referenced by: bgoldbtbnd 41697

W3C validator